ವಿಶ್ಲೇಷಣ ಗಣಿತ

ವಿಶ್ಲೇಷಣ ಗಣಿತವು ಗಣಿತದ ಒಂದು ಪ್ರಮುಖ ಶಾಖೆ (ಮ್ಯಾಥ್‍ಮ್ಯಾಟಿಕಲ್ ಅನ್ಯಾಲಿಸಿಸ್). ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೇಳುವುದಾದರೆ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನತೆಯ (ಕಂಟಿನ್ಯುವಿಟಿ) ಲಕ್ಷಣವಿರುವ ಗಣಿತಧಾತುಗಳೇ ವಿಶೇಷತಃ ಇದರ ಅಧ್ಯಯನ ವಸ್ತು. ಅರ್ಥಾತ್ ಈ ಗಣಿತಶಾಖೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಧಾನ ಒತ್ತು ಸಲ್ಲುವುದು ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನತೆಗೇ. ಆದರೂ ಈ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ ಎದ್ದುಕಾಣುವ ಒಂದು ಐತಿಹಾಸಿಕ ಸೋಜಿಗ ಗಮನಿಸಬೇಕು: ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಂಥ ವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಧಾತುಗಳನ್ನು (discrete elements) ಕುರಿತ ಶೋಧನಾನ್ವೇಷಣೆಗಳು ಕೂಡ ಅದ್ಭುತ ಪ್ರಗತಿ ಸಾಧಿಸಿರುವುದು ವಿಶ್ಲೇಷಣ ಗಣಿತದ ನಿಚ್ಚಳ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನತಾಮಾರ್ಗಗಳ ಅನ್ವಯದಿಂದಲೇ!

ಇತಿಹಾಸ

ವಿಶ್ಲೇಷಣ ಗಣಿತ ಜನ್ಮತಾಳಿದ್ದು 17ನೆಯ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ, ವ್ಯವಸ್ಥಿತವಾಗಿ ರೂಪುಗೊಂಡ ಅವಕಲನ ಮತ್ತು ಅನುಕಲನ (ಡಿಫರೆನ್ಶಿಯಲ್ ಆ್ಯಂಡ್ ಇಂಟೆಗ್ರಲ್ ಕ್ಯಾಲ್ಕ್ಯುಲಸ್) ಲೆಕ್ಕಮಾರ್ಗಗಳ ಮೂಲಕ. ಈ ಲೆಕ್ಕಮಾರ್ಗಗಳ ಪ್ರಮುಖ ರೂವಾರಿಗಳು ಗಾಟ್‌ಫ್ರೀಟ್ ವಿಲ್‌ಹೆಲ್ಮ್ ಫಾನ್ ಲೈಪ್‌ನಿಟ್ಸ್ (1646-1716) ಹಾಗೂ ಐಸಾಕ್ ನ್ಯೂಟನ್ (1642-1727). ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಪ್ರಪಂಚದ ರೇಖೆ ಹಾಗೂ ಭೌತಕಾಯಗಳ ಚಲನೆ ಇವುಗಳ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನತಾಗುಣಧರ್ಮದ ಬಗ್ಗೆ ಜನಮನದಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ನೆಲೆಯಾಗಿರುವ ಕೆಲವೊಂದು ಅರ್ಧಸ್ಪಷ್ಟ ಕಲ್ಪನೆಗಳು ಅವಕಲನ ಅನುಕಲನ ಗಣನಾವಿಧಾನಗಳಿಗೆ ವಾಸ್ತವತಃ ಮೂಲಸ್ಫೂರ್ತಿಯಾದುವು. ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಧಾತುಗಳನ್ನು ಎಷ್ಟೆಂದರಷ್ಟು ಸಲ ವಿಭಜಿಸಿ ಎಷ್ಟೆಂದರಷ್ಟು ಚಿಕ್ಕ ತುಣುಕುಗಳನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು ಎಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ. ಎರಡು ಬೇರೆಬೇರೆ ಅಮೂರ್ತ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಧಾತುಗಳನ್ನು ಹೀಗೆ ಮನಬಂದಂತೆ ವಿಭಜಿಸುತ್ತ ನಡೆದಾಗ ಅವುಗಳ ಅನುರೂಪ ತುಣುಕುಗಳ ಅಳತೆಗಳು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಅನುಪಾತವನ್ನು ಸಮೀಪಿಸುತ್ತ ಹೋಗಬಹುದು. ಇಂಥ ಪರಿಮಿತಿಗಾಮಿ ಅನುಪಾತಗಳ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವೇ ಅವಕಲ ಪರಿಕರ್ಮ (ಡಿಫರೆನ್ಶಿಯೇಷನ್). ನಿರಂತರ ವಿಭಜನೆಗಳಿಂದ ಫಲಿಸಿರಬಹುದಾದ ಒಂದೇ ಧಾತುವಿನ ಅಸಂಖ್ಯಾತ ತುಣುಕುಗಳ ಅಳತೆಗಳೆಲ್ಲವನ್ನೂ ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿ ಮೂಲಧಾತುವಿನ ಅಳತೆಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವ ವಿಲೋಮ ಪರಿಕ್ರಮವೇ ಅನುಕಲನ (ಇಂಟೆಗ್ರೇಷನ್).

ಬಲು ಪ್ರಾಚೀನ ಕಾಲದಿಂದಲೂ ವಿಚ್ಛಿನ್ನತೆ-ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನತೆಗಳ ತಾತ್ತ್ವಿಕ ದ್ವಂದ್ವಕ್ಕೆ ಮಾನವಪ್ರಜ್ಞೆ ಪದೇಪದೇ ಗುರಿಯಾಗುತ್ತಲಿದೆ. ನಮ್ಮ ಸುತ್ತಮುತ್ತ ಇರುವ ಘನಕಾಯಗಳು ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಎಂಬುದು ಅರಿಸ್ಟಾಟಲ್ ಪರಿಕಲ್ಪನೆ (ಕ್ರಿ.ಪೂ. 384-322); ಆದರೆ ಅವು ನಿಜಕ್ಕೂ ವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಸ್ವರೂಪದ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಪರಮಾಣುಗಳ ಸಂಚಯನ ಎನ್ನುವುದು ಡೆಮೊಕ್ರಿಟಸ್ ವಿಶ್ವಾಸ (ಕ್ರಿ.ಪೂ.ಸು. 470-380). ಇಂಥೆಲ್ಲ ಭಿನ್ನಮತಗಳ ನಡುವಿನ ಚರ್ಚೆಯಲ್ಲಿ ಅಂತಿಮವಾಗಿ ಪರಮಾಣುವಾದಕ್ಕೆ ವಿಜಯ ಲಭಿಸಿರುವುದು ಇಂದು ಚರಿತ್ರೆಯ ಪುಟಗಳಲ್ಲಿ ದಾಖಲಾಗಿದೆ. ಇಂತಿದ್ದರೂ ಮೂರ್ತ ಪ್ರಪಂಚಕ್ಕಷ್ಟೇ ಈ ವಿಜಯ ಸೀಮಿತವಿದ್ದು ಅಮೂರ್ತ (abstract) ಗಣಿತಜಗತ್ತಿನಲ್ಲಿ ಅದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಮಾನ್ಯ ಎಂಬ ಮನೋಭಿಪ್ರಾಯವೂ ಸಾರ್ವಕಾಲಿಕವಾಗಿ ಇದ್ದೇ ಇದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಕಾಗದದ ಮೇಲೆ ನಾವು ಎಳೆಯಬಹುದಾದ ಯಾವುದೇ ಗೆರೆ ಶಾಯಿಯ ಅಣುಗಳ ವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಸಂಚಯನ, ನಿಜ. ಆದರೆ ಇಂಥ ಗೆರೆ ಜ್ಯಾಮಿತಿಲೋಕದ ಒಂದು ರೇಖೆಯನ್ನು ಕೇವಲ ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ಹೋಲಬಹುದೇ ವಿನಾ ವಾಸ್ತವವಾಗಿ ಆ ರೇಖೆಯೇ ಆಗಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ; ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಸ್ತಾವವಾಗುವ ಅಮೂರ್ತಪ್ರಾಯ ರೇಖೆಯಂತೂ ಪೂರ್ಣ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನವಾಗಿಯೇ ಇರಬೇಕು ಎಂದು ಭಾವಿಸುವುದು ಅಸಹಜವಲ್ಲ. ಹಾಗಿದ್ದರೆ ಈ ಆದರ್ಶ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನತೆಯ ಮನಃಕಲ್ಪನೆಗೆ ಸ್ಪಷ್ಟ ಮಾತುಗಳಲ್ಲಿ ಅಭಿವ್ಯಕ್ತಿ ನೀಡುವುದು ಹೇಗೆ? ನಮ್ಮ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ರೇಖೆಯ ಉದ್ದಕ್ಕೂ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ಸಂವಾದಿಯಾಗಿ ಸಮಸಮ ದೂರಗಳಲ್ಲಿ . . . , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, . . .  ಎಂಬ ಗುರುತುಗಳನ್ನು ಕೆತ್ತನೆಮಾಡಿರುವುದಾಗಿ ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಳ್ಳಿ. ಈ ಗುರುತುಗಳು ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನವಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ ಇವುಗಳಿಂದಲೇ ಇಡೀ ರೇಖೆಯನ್ನು ಭರ್ತಿಮಾಡಲು ಸಾಧ್ಯವಾಗಿಲ್ಲ - ಗುರುತುಗಳ ನಡುನಡುವೆ ಅಸಂಖ್ಯಾತ ಖಾಲಿ ಜಾಗಗಳು ಉಳಿದುಹೋಗಿವೆ.  ಈ ಕೊರತೆಯನ್ನು ನೀಗಿಸಲು ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ ನಡುವೆ p/q ರೂಪದ ಎಲ್ಲ ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳನ್ನು ಕೂಡ ಗುರುತು ಮಾಡಬಹುದಲ್ಲವೇ? (p,q ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು, q ≠ 0). ಆಗ ಯಾವುವೇ ಎರಡು ಗುರುತುಗಳ ನಡುವೆ ಅಸಂಖ್ಯಾತ ಇತರ ಗುರುತುಗಳು ಉಪಸ್ಥಿತವಿರುವುವಾಗಿ ಕಂಡು ಬಂದು (ಉದಾಹರಣೆಗೆ p/q, r/s ಗಳ ನಡುವೆ (ps+qr)/(2qs) ಇರಬೇಕಾಗುತ್ತದೆ) ಇಡೀ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ರೇಖೆ ನಾವು ಕೆತ್ತಿದ ಗುರುತುಗಳಿಂದ ಭರ್ತಿಯಾಗಿರುವಂತೆ ಭಾಸವಾಗುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಈಗಲೂ ಅಲ್ಲಿ $\sqrt{2}$ ರಂಥ ಕರಣಿಪರಿಮಾಣಗಳಿಗೆ ಸಂವಾದಿಯಾಗಿ ಅಸಂಖ್ಯಾತ  “ಖಾಲಿಜಾಗ”ಗಳು ಉಳಿದುಬಿಡುತ್ತವೆ ಎಂಬ ಅನಿರೀಕ್ಷಿತ ಅರಿವಿನಿಂದ ಪೈಥಾಗೊರಸ್‌ನಿಗೆ (ಕ್ರಿ.ಪೂ.ಸು. 582-497) ಅತೀವ ವೇದನೆಯೇ ಆಯಿತು!

ಈ $\sqrt{2}$ ರ ಖಾಲಿಜಾಗವನ್ನು ತಾತ್ತ್ವಿಕವಾಗಿ ಒಂದು ಆದರ್ಶೀಕೃತ ರಚನೆಯಿಂದ ತುಂಬಿಸಬಹುದೆಂದು ಗ್ರೀಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಕಾರರಿಗೆ ತಿಳಿದಿತ್ತು. ಇದಕ್ಕಾಗಿ ಅವರು ಬಳಸಬೇಕಿದ್ದ “ಪರಿಕರ”ಗಳೆಂದರೆ ಆದರ್ಶೀಕೃತ ನೇರಅಂಚು ಮತ್ತು ಆದರ್ಶೀಕೃತ ಕೈವಾರ (ಸ್ಟ್ರೇಟ್ಎಜ್ ಅಂಡ್ ಕಂಪಾಸ್). ಹಾಗಾಗಿ ಇವೆರಡು ಯಕ್ಷಿಣಿಪ್ರಾಯ ಅಮೂರ್ತ ಸಾಧನಗಳನ್ನು ಪ್ರಯೋಗಿಸಿ ಜ್ಯಾಮಿತಿರೇಖೆಯನ್ನು ಕೊನೆಗೂ ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಭರ್ತಿಮಾಡಬಹುದೆಂಬ ನಂಬಿಕೆ (ಕೆಲವೊಂದು ಅಳುಕುಗಳೊಂದಿಗೇ ಆದರೂ) ಗಣಿತಪ್ರಪಂಚದಲ್ಲಿ ಬಲುಕಾಲ ಬೇರೂರಿತ್ತು. ಆದರೆ ಇದೊಂದು ಬರಿಯ ಭ್ರಮೆ ಎಂದು ಹಠಾತ್ ತೋರಿಸಿಕೊಡಲು ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ ದಶೆಯಲ್ಲಿದ್ದಾಗಲೇ ಯೊಹಾನ್ ಕಾರ್ಲ್ ಫ್ರೀಡ್‌ರಿಶ್ ಗೌಸ್‌ಗೆ (1777-1855) ಹೆಚ್ಚು ಕಷ್ಟವೇನೂ ಆಗಲಿಲ್ಲ! ಇನ್ನು ಪೂರ್ಣಾಂಕ, ಭಿನ್ನರಾಶಿಗಳೊಂದಿಗೆ ಬೀಜಗಣಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಮಸ್ತ ಮೂಲಗಳನ್ನೂ ಕಲೆಹಾಕಿ ಸೃಷ್ಟಿಮಾಡಬಹುದಾದ ಪರಿಮಾಣಗಳ ಸಮಗ್ರ ಬೃಹದ್ರಾಶಿಯಂತೂ ಪಾರಂಪರಿಕ ಗ್ರೀಕ್ ಜ್ಯಾಮಿತಿಯಲ್ಲಿ ಇಂಗಿತವಿರುವುದಕ್ಕಿಂತಲೂ ಬಲು ವಿಸ್ತೃತ. ಆದರೆ 19ನೆಯ ಶತಮಾನದ ವೇಳೆಗೆ ಈ ಬೀಜಗಣಿತೀಯ ಬೃಹದ್ರಾಶಿ ಕೂಡ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನವಲ್ಲ ಎಂಬ ಸಂಗತಿ ಪ್ರಮುಖತಃ ಜೋಸೆಫ್ ಲ್ಯೂವೀಲ್ (1809-82), ಚಾರ್ಲ್ಸ್ ಹರ್ಮೀಟ್ (1822-1901) ಹಾಗೂ ಫರ್ಡಿನಂಡ್ ಲಿಂಡಮನ್ (1852-1939) ಕೈಗೊಂಡ ಸಂಶೋಧನೆಗಳಿಂದ ಶ್ರುತಪಟ್ಟಿತು.

ಪರಿಮಾಣಗಳ ಯಾವುದೇ ಒಂದು ರಾಶಿಯ ವಿಚ್ಛಿನ್ನತಾಲಕ್ಷಣ ಗಣಿತದ್ರಷ್ಟಾರರ ಗಮನಕ್ಕೆ ಬಂದದ್ದು ಶಿಥಿಲ ಗೋಡೆಯೊಂದರ ಮಧ್ಯೆ ಪ್ರತ್ಯಕ್ಷವಿರುವ ಬಿರುಕುಗಳಂತೆ ಇಂದ್ರಿಯಮುಖೇನ ಅಲ್ಲ ಎಂದು ಬೇರೆ ಹೇಳಬೇಕಾಗಿಲ್ಲವಷ್ಟೆ. ಹಾಗಿದ್ದ ಮೇಲೆ ಗಣಿತಜ್ಞರ ನಿರೀಕ್ಷೆಯಂತೆ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನತೆಯ ಸ್ವರೂಪವಾದರೂ ಎಂತಿರಬಹುದು? ಈ ಪ್ರಶ್ನೆಗೆ ಸರಿ ಹೊಂದುವ ಉತ್ತರವನ್ನು ಸ್ಪಷ್ಟೀಕರಿಸಿದವರಲ್ಲಿ ಮೊದಲಿಗರೆಂದರೆ ಜೂಲಿಯಸ್ ವಿಲ್‌ಹೆಲ್ಮ್ ರಿಚರ್ಡ್ ಡೇಡೆಕಿಂಟ್ (1831-1916). $\mathrm{\Re }$ ಎಂಬುದು ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನತೆಯ ಪರೀಕ್ಷೆಗೆ ಒಳಪಡುತ್ತಿರುವ ಗಣಿತೀಯ ಪರಿಮಾಣಗಳ ದತ್ತ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಆಗಿದ್ದು S ಇದರ ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಉಪಗಣ ಆಗಿರಲಿ. S ನಲ್ಲಿರುವ ಸಕಲ ಧಾತುಗಳಿಗಿಂತಲೂ ಅಧಿಕವಿರುವ -ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚೆಂದರೆ S ನ ಒಂದು ಧಾತುವಿಗಷ್ಟೇ ಸಮವಿದ್ದು, ಅದರ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಇತರ ಧಾತುವಿಗಿಂತಲೂ ಅಧಿಕವಿರುವ - ಯಾವುದೇ ಒಂದು m ಪರಿಮಾಣವನ್ನು $\mathrm{\Re }$ ಒಳಗೊಳ್ಳುವ ಪಕ್ಷದಲ್ಲಿ ಅಂಥ m ನ್ನು S ನ ಒಂದು $\mathrm{\Re }$-ಗತ ಮೇಲ್ಮುಖ ಎಲ್ಲೆ (ಅಪ್ಪರ್ ಬೌಂಡ್) ಎಂದು ಬಣ್ಣಿಸುತ್ತೇವೆ. $\mathrm{\Re }$ ನ ಉಪಗಣವೊಂದಕ್ಕೆ $\mathrm{\Re }$-ಗತ ಮೇಲ್ಮುಖ ಎಲ್ಲೆ ಇರುವ ಎಲ್ಲ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲೂ ಅದೇ ಉಪಗಣಕ್ಕೆ ಒಂದು ಕನಿಷ್ಠ $\mathrm{\Re }$-ಗತ ಮೇಲ್ಮುಖ ಎಲ್ಲೆ ಸಹ ಇರುವುದಾದರೆ ಸಾರತಃ ಡೇಡೆಕಿಂಟ್ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಂತೆ ಈ $\mathrm{\Re }$ ವ್ಯವಸ್ಥೆ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಎನಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಯೋಗ್ಯವಾಗುತ್ತದೆ. ವಿಶ್ಲೇಷಣ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಈ ಅಭಿಪ್ರಾಯವನ್ನೇ ನಾನಾ ಭಿನ್ನ ಮಾರ್ಗಗಳಿಂದ ಸಲುವಳಿಗೊಳಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಪ್ರಚಲಿತವಿರುವ ಅಂಥ ಇನ್ನೂ ಒಂದು ಪರ್ಯಾಯವೆಂದರೆ ಕೋಷಿ ಸರಣಿಗಳ ಮಾರ್ಗ ಎಂದು ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರಾಸಂಗಿಕವಾಗಿ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಬಹುದಾಗಿದೆ. ಇದನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಿದಾತ ವಿಶ್ಲೇಷಣ ಗಣಿತದ ಆದಿಪ್ರವರ್ತಕರಲ್ಲೊಬ್ಬನಾದ ಬ್ಯಾರನ್ ಅಗಸ್ಟೀನ್ ಲೂಯಿ ಕೋಷಿ (1789-1857). ವಿಶ್ಲೇಷಣ ಗಣಿತದ ಸಾಧನಾಕ್ರಮಗಳು ರೂಢಿಗತ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಮನಃಕಲ್ಪನೆಗಳ ಅಂತರ್ಬೋಧೆಯನ್ನು ಅವಲಂಬಿಸಬಾರದು ಎಂದು ತೀವ್ರವಾಗಿ ಪ್ರತಿಪಾದಿಸಿದವರ ಪಂಕ್ತಿಯಲ್ಲಿ ಕೋಷಿಗೆ ಪ್ರಮುಖ ಸ್ಥಾನವಿದೆ.

ಫಲನಗಳು

ಫಲನಗಳ (ಫಂಕ್ಷನ್ಸ್) ಪರಿಕಲ್ಪನೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣ ಗಣಿತದ ಒಂದು ಮುಖ್ಯ ಅಂಗ. ಚರರಾಶಿಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳುವ x², x³, sin x ಮೊದಲಾದ ಸೂತ್ರೋಕ್ತಿಗಳೇ ಫಲನಗಳು ಎಂಬ ಭಾವನೆ ಮೊದಮೊದಲಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪಕವಾಗಿ ಬೇರೂರಿದ್ದಿತು. ಆದರೆ ವಿಶ್ಲೇಷಣ ಗಣಿತದ ತಾತ್ತ್ವಿಕ ಚಿಂತನೆಗಳು ಸ್ಫುಟಗೊಂಡಂತೆ ಸ್ವತಂತ್ರ x ಚರದ ಬೆಲೆ ದತ್ತವಿದ್ದಾಗ f(x) ಅವಲಂಬಿಚರದ ಅನುರೂಪ ಬೆಲೆಯನ್ನು ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾಗಿ ಗೊತ್ತು ಮಾಡಿಕೊಡುವ ಯಾವುದೇ ವಿಧಿನಿರೂಪಣೆಯನ್ನು f ಫಲನವೆಂದು ಗುರುತಿಸುವ ಪರಿಪಾಠ ಬೆಳೆಯಿತು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಈ ಪರಿಪಾಠದಂತೆ x ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ f(x) = 0, x ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ f(x) = 1 ಎಂಬಂಥ ಆಡುಭಾಷೆಯ ಸೂಚನೆಗಳು ಸಹ ಗಣಿತೀಯ ಫಲನಗಳೆಂದು ಅಂಗೀಕೃತವಾದುವು. ನೈಜಸಂಖ್ಯಾಚರಗಳ (real variables) ಹಾಗೂ ಸಮ್ಮಿಶ್ರಸಂಖ್ಯಾಚರಗಳ (complex variables) ವಿಶ್ಲೇಷಣ ಗಣಿತಗಳು ತುಸುಮಟ್ಟಿಗೆ ಭಿನ್ನವಿದ್ದರೂ ಇವೆರಡರಲ್ಲಿ ವಿವಿಧ ರೀತಿಯ ಫಲನಗಳ ವಿಚ್ಛಿನ್ನತೆ-ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನತೆ, ಅವ(/ಅನು)ಕಲ್ಯತೆ-ಅನವ(/ಅನನು)ಕಲ್ಯತೆ ಮುಂತಾದ ಗುಣಧರ್ಮಗಳ ಬಗ್ಗೆ ವಿವೇಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಎಲ್ಲೆಗಳು, ಪರಿಮಿತಿಗಳು, ಸರಣಿಗಳು, ಶ್ರೇಢಿಗಳು, ಬಹುಚರ ಫಲನಗಳು (multivariable functions), ಅವ(/ಅನು)ಕಲ ಪರಿಕರ್ಮಗಳು ಮತ್ತು ಸಮೀಕರಣಗಳು, ವಿವಿಧ ಗರಿಷ್ಠ / ಕನಿಷ್ಠ ಧಾತುಗಳ ನಿಷ್ಕರ್ಷೆ-ಇವೆಲ್ಲವೂ ವಿಶ್ಲೇಷಣ ಗಣಿತದ ಅಧ್ಯಯನ ವಿಷಯಗಳೇ ಆಗಿವೆ. ಈ ವಿಶಾಲ ಕ್ಷೇತ್ರಾದ್ಯಂತ ಅನುಸರಣೆಗೆ ಬಂದ ಚಿಂತನವಿಧಾನಗಳನ್ನು ಕಾಲಕ್ರಮೇಣ ವಿವಿಧ ದಿಶೆಗಳಲ್ಲಿ ಹೆಚ್ಚು ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಿಸುವ ಯತ್ನಗಳು ಸಹಜವಾಗಿಯೇ ನಡೆದುವು. ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಮಾರ್ಪಾಡುಗಳ ಕಲನ (ಕ್ಯಾಲ್ಕ್ಯುಲಸ್ ಆಫ್ ವೇರಿಯೇಷನ್ಸ್), ಟಪಾಲಜಿ, ಫಂಕ್ಷನಲ್ ಅನ್ಯಾಲಿಸಿಸ್ ಮೊದಲಾದ ನವ್ಯ ಗಣಿತ ಶಾಖೆಗಳು ಜನ್ಮತಾಳಿದ್ದು ಅಂಥ ಚಟುವಟಿಕೆಗಳ ಫಲವಾಗಿಯೇ.

ಸಮ್ಮಿಶ್ರಸಂಖ್ಯಾಚರಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣಗಣಿತ

ಸಮ್ಮಿಶ್ರಸಂಖ್ಯಾಚರಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣಗಣಿತದಲ್ಲಿ (ಕಾಂಪ್ಲೆಕ್ಸ್ ಅನ್ಯಾಲಿಸಿಸ್) ಕೆಲವು ಎದ್ದುಕಾಣುವ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳಿವೆ. ಅನಲಿಟಿಕ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯೇ ಇವೆಲ್ಲ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯಗಳಿಗೆ ಮೂಲ. x ಮತ್ತು y ಗಳು ಎಂದಿನಂತೆ ಎರಡು ನೈಜಸಂಖ್ಯಾ ಪರಿಮಾಣಗಳಾದರೆ z = x + iy ಎಂಬುದು ಒಂದು ಸಮ್ಮಿಶ್ರಸಂಖ್ಯೆ ಆಗುತ್ತದೆ ($i=\sqrt{-1}$), ಮತ್ತು ಇದನ್ನು (x , y) ನಿರ್ದೇಶಕಗಳ ಮೂಲಕ ಸಮ್ಮಿಶ್ರಸಂಖ್ಯಾತಲದಲ್ಲಿ ಒಂದು (ಚರ)ಬಿಂದುವಾಗಿ ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಈಗ ಇದೇ ತಲದಲ್ಲಿ z₀ = x₀ + iy₀, c₀ = a₀ + ib₀, c₁ = a₁ + ib₁, c₂ = a₂ + ib₂, c₃ = a₃ + ib₃, ಇತ್ಯಾದಿ ಅನಂತಸಂಖ್ಯೆಯಷ್ಟು ದತ್ತ ಬಿಂದುಗಳು (ಅರ್ಥಾತ್ ಸಮ್ಮಿಶ್ರಸಂಖ್ಯೆಗಳು!) ಸ್ಥಿರ ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿರುವುವಾದರೆ f(z) = c₀ + c₁(z- z₀) + c₂(z- z₀)² + c₃(z- z₀)³ + ... (ಅನಂತದವರೆಗೆ) (ಅ) ಎಂಬ ಘಾತೀಯಶ್ರೇಢಿ (ಪವರ್ ಸೀರೀಸ್) z ನ ಕೆಲವೊಂದು ಬೆಲೆಗಳಿಗಾದರೂ ಅಭಿಸರಣಶೀಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಕನ್‌ವರ್ಜೆಂಟ್), ಹಾಗೂ z ನ ಅಂಥ ಬೆಲೆಗಳೆಲ್ಲವೂ z₀ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದ್ದು ಯಾವುದಾದರೊಂದು r₀ ತ್ರಿಜ್ಯವಿರುವ ($0\le r_0\le \mathrm{\infty }$) “ಅಭಿಸರಣ ವೃತ್ತ”ದ ಒಳಗಡೆ ಇರುತ್ತವೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಈ ಅಭಿಸರಣ ವೃತ್ತವನ್ನು {z₀; r₀} ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ. ತ್ರಿಜ್ಯ r₀ > 0 ಆಗಿರುವ ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ z₀ ಯಿಂದ ಭಿನ್ನವಾದ ಯಾವುದಾದರೂ ಇನ್ನೊಂದು z₁ = x₁ + iy₁ ಬಿಂದುವನ್ನು {z₀; r₀} ವೃತ್ತದೊಳಗಡೆ ಗುರುತಿಸಬಹುದಷ್ಟೆ. ಈ z₁ ಸುತ್ತಮುತ್ತ ಇರುವ z ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಸಂವಾದಿಯಾಗಿ

f(z) = f(z₁) + f'(z₁)(z-z₁)/1! + f''(z₁)(z-z₁)²/2! + f'''(z₁)(z-z₁)³/3! + . . . . . . (1)

ಆಗುತ್ತದೆಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಈ ಎರಡನೆಯ ಘಾತೀಯಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ f'(z₁), f''(z₁), f'''(z₁) ಇತ್ಯಾದಿಗಳು z = z₁ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿಯ f(z) ಫಲನದ ಅನುಕ್ರಮ ನಿಷ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿದ್ದು (ಡಿರೈವೆಟಿವ್ಸ್) 0 < |z₁ - z₀| < r₀ ಆಗಿರುವಾಗ ಇವೆಲ್ಲವೂ ಖಂಡಿತ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ ಎಂಬುದು ಸಮ್ಮಿಶ್ರಸಂಖ್ಯಾಚರಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣ ಗಣಿತದ ಪ್ರಪ್ರಥಮ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯ. ಈ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯದ ಕಾರಣದಿಂದಾಗಿ ಯಾವುದೇ r₀ > 0 ತ್ರಿಜ್ಯದ ವೃತ್ತದೊಳಗಡೆ (1) ರೂಪದ ಒಂದು ಘಾತೀಯಶ್ರೇಢಿಯ ಮುಖೇನ ವ್ಯಾಖ್ಯಿತವಾಗಿರುವ f(z) ನಂಥ ಫಲನಗಳು ಅನಲಿಟಿಕ್ ಎಂದೆನಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತವೆ. ಇನ್ನು z₁ ಕೇಂದ್ರವಾಗಿದ್ದು, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ r₁ ತ್ರಿಜ್ಯವಿರುವ ($0<r_1\le \mathrm{\infty }$) ಒಂದು {z₁; r₁}-ಸೂಚಿತ ವೃತ್ತದೊಳಗಡೆ ಎರಡನೆಯ ಘಾತೀಯಶ್ರೇಢಿ (ಆ) ಅಭಿಸರಣಶೀಲವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದರೆ ಬಹಳಷ್ಟು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ ಮುಂಚಿನ {z₀; r₀} ಅಭಿಸರಣವೃತ್ತದ ಹೊರಗಡೆ ಇರುವ ಕೆಲ ಪ್ರದೇಶಗಳನ್ನು ಸಹ ಈಗಿನ {z₁; r₁} ವೃತ್ತ ಒಳಗೊಂಡಿರಲು ಶಕ್ಯ ಎಂಬುದು ಪ್ರಸ್ತುತ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ವಿಶೇಷ ಸಂಗತಿ. ಹಾಗಾಗಿ ಎರಡನೆಯ ಘಾತೀಯಶ್ರೇಢಿ (ಆ) ಅನೇಕ ವೇಳೆ f(z) ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮೊದಲನೆಯ ಘಾತೀಯಶ್ರೇಢಿ (ಅ) ಯಲ್ಲಿ ಸೂಚಿತವಿರುವುದಕ್ಕಿಂತಲೂ ಹೆಚ್ಚು ವಿಸ್ತೃತಗೊಳಿಸಬಲ್ಲದು. ಇದೇ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯನ್ನು ಅವಿರತ ಮುಂದುವರಿಸಿ f(z) ನ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯನ್ನು ಇಡೀ ಸಮ್ಮಿಶ್ರಸಂಖ್ಯಾತಲದಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಸಾಧ್ಯವೋ ಅಷ್ಟೂ ವಿಸ್ತರಿಸಿರುವುದಾಗಿ ಸದಾ ಭಾವಿಸಬಹುದಷ್ಟೆ? ಈ ಬಗೆಯ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳಿಗೆ ಅನಲಿಟಿಕ್ ವಿಸ್ತರಣೆಗಳು ಎಂದು ಹೆಸರು. ಅನಲಿಟಿಕ್ ವಿಸ್ತರಣಸಾಧ್ಯತೆ ಸಮ್ಮಿಶ್ರಸಂಖ್ಯಾಚರಗಳ ವಿಶ್ಲೇಷಣ ಗಣಿತದ ಇನ್ನೊಂದು ಪ್ರಮುಖ ವೈಶಿಷ್ಟ್ಯ. ಇದರಿಂದಾಗಿ ಅನಲಿಟಿಕ್ ಫಲನಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯಾಪ್ರಾಂತವನ್ನು (ಡೊಮೇನ್ ಆಫ್ ಡೆಫಿನಿಷನ್) ಸೂಚಿಸಬೇಕಾದ ಯಾವ ಅನಿವಾರ್ಯತೆಯೂ ಇಲ್ಲವಾಗುತ್ತದೆ! ಆದರೂ ಅನಲಿಟಿಕ್ ವಿಸ್ತರಣೆಯಿಂದ ಒಂದೇ z ಗೆ ಅನುರೂಪವಾಗಿ ಹಲವಾರು f(z) ಬೆಲೆಗಳು ಲಭಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆ ಉಂಟು; ಅಂಥ ಒಂದೊಂದು ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲೂ ಸಮ್ಮಿಶ್ರಸಂಖ್ಯಾತಲ ಯುಕ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಯಷ್ಟು ಬೇರೆಬೇರೆ ಪದರಗಳಿಂದ ರಚಿತವಾಗಿರುತ್ತದೆಂಬ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯನ್ನು (ರೀಮಾನ್ ಸರ್ಫೇಸ್) ಜಾರ್ಜ್ ಫ್ರೀಡ್ರಿಕ್ ಬರ್ನಾರ್ಡ್ ರೀಮಾನ್ (1826-66) ಹುಟ್ಟುಹಾಕಿದ್ದು ಪ್ರಮುಖತಃ ತತ್ಸಂಬಂಧೀ ಗೊಂದಲಗಳ ನಿವಾರಣೆಯ ಉದ್ದೇಶದಿಂದಲೇ.

ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು

• Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Calculus & Analysis
• Basic Analysis: Introduction to Real Analysis by Jiri Lebl (Creative Commons BY-NC-SA)
• Mathematical Analysis – Encyclopædia Britannica
• Calculus and Analysis