ಫೋರ್ಯೇ ಶ್ರೇಣಿಗಳು

-π ≤ x ≤ π ಅಂತರದಲ್ಲಿ $f(x)=\frac{1}{2}{a}_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos nx+b_n\sin nx)$...…(1)

ಆಗಿರಲಿ. ಇದರಲ್ಲಿಯ a ಮತ್ತು b ಎಂಬ ಸ್ಥಿರ ಗುಣಾಂಕಗಳನ್ನು ಈ ಕೆಳಗಿನಂತೆ ಅನುಕಲ ವಿಧಾನದಿಂದ ಕಂಡುಹಿಡಿಯೋಣ:

m, n ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆಗಳು ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳಾದರೆ (positive integers), ಆಗ

$\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\sin nxdx=0$, $\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\sin mx\cos nxdx=\{\begin{array}{c}0,m\ne n;\\ -\pi ,m=n\end{array}$

$\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\cos nxdx=0$, $\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\sin mx\sin nxdx=\{\begin{array}{c}0,m\ne n;\\ \pi ,m=n\end{array}$

$\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\cos mx\cos nxdx=0$,

ಎಂಬ ಅನುಕಲಗಳನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಸಾಧಿಸಬಹುದು.

ಈಗ ಶ್ರೇಣಿ (1) ರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವೂ ಅನುಕಲಸಾಧ್ಯವೆಂದು ಭಾವಿಸಿ, ಅದರ ಎರಡು ಪಾರ್ಶ್ವಗಳನ್ನೂ -π ನಿಂದ π ವರೆಗೆ ಪದಶಃ ಅನುಕಲಿಸಿದರೆ

$\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)dx=\lfloor \frac{1}{2}\rfloor a_0\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}dx=a_0\pi$

ಆಗುತ್ತದೆ; ಇದರ ಪದಗಳೆಲ್ಲವೂ ಮೇಲಿನ ಅನುಕಲಗಳಿಂದ ಶೂನ್ಯವಾಗುತ್ತವೆ.

$\therefore a_0=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)dx$

ಮತ್ತೆ (1) ರ ಎರಡು ಕಡೆಗಳನ್ನೂ cos nx ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿ -π ನಿಂದ π ವರೆಗೆ ಪದಶಃ ಅನುಕಲಿಸಿದರೆ

$\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)\cos nxdx=a_n\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{\cos }^{2}nxdx=a_n\pi$

ಆಗುತ್ತದೆ. ಇತರ ಪದಗಳೆಲ್ಲವೂ ಶೂನ್ಯವಾಗುತ್ತವೆ.

$\therefore a_n=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)\cos nxdx$

ಇದೇ ರೀತಿ (1)ರ ಎರಡು ಕಡೆಗಳನ್ನೂ sin nx ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿ -π ನಿಂದ π ವರೆಗೆ ಪದಶಃ ಅನುಕಲಿಸಿದರೆ

$b_n=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)\sin nxdx$

ಈಗ, ವಿಸ್ತರಣೆ (1)ರಲ್ಲಿ a ಮತ್ತು b ಎಂಬ ಗುಣಕಗಳಿಗೆ ಈ ಅನುಕಲಗಳನ್ನು ಪ್ರತಿಸ್ಥಾಪಿಸಿದರೆ ದೊರೆಯುವ ಶ್ರೇಣಿಯೇ ದತ್ತ ಅಂತರದಲ್ಲಿ f(x) ಗೆ ಅನುಗುಣವಾದ ಫೋರ್ಯೇ ಶ್ರೇಣಿ. ಕೆಲವು ನಿರ್ಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ ಈ ಶ್ರೇಣಿ f(x) ಗೆ ಸಮವಾಗಿರುತ್ತದೆ.

ಇಂಥ ಶ್ರೇಣಿಗಳು ಉಪಪ್ರಸರಣ, ತಂತ್ರೀಕಂಪನ ಮುಂತಾದ ಗಣನೆಗಳಿಗೆ ಅವಶ್ಯವಾಗುತ್ತವೆ. ಇವನ್ನು 19ನೆಯ ಶತಮಾನದ ಆದಿಯಲ್ಲಿ ಫೋರ್ಯೇ ಎಂಬ ವಿಜ್ಞಾನಿ ಆವಿಷ್ಕರಿಸಿದ.

ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು

• ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Springer
• ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Cite EB1911
• ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:MathWorld
• ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Webarchive