ಶ್ರೇಢಿಗಳು (ಗಣಿತ)

ಗಣಿತಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ, ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ನಿಯಮಕ್ಕನುಸಾರವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಒಂದು ಕ್ರಮಬದ್ಧವಾದ ಜೋಡಣೆಯನ್ನು ಶ್ರೇಢಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿನ ಪ್ರತಿ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಶ್ರೇಢಿಪದ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

$2, 6, 10, 14, . . .$

ಈ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯೆ 2 ಮೊದಲನೇ ಶ್ರೇಢಿಪದ, 6 ಎರಡನೇ ಶ್ರೇಢಿಪದ, 10 ಮೂರನೆಯದು. ಒಂದು ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನೂ ಒಂದೊಂದು ಚಿಹ್ನೆಯ ಮೂಲಕ ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಮೇಲಿನ ಶ್ರೇಢಿಯಿಂದ:

ಶ್ರೇಢಿಪದ	ಮೊದಲನೇ	ಎರಡನೇ	ಮೂರನೇ	ನಾಲ್ಕನೇ	$n$ ನೇ
ಚಿಹ್ನೆ	$T_{1}$	$T_{2}$	$T_{3}$	$T_{4}$	$T_{n}$

ಇಲ್ಲಿ $n$ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿನ ಪದದ ಸ್ಥಾನವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ.

ಪರಿಮಿತ ಮತ್ತು ಅಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿಗಳು

ಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು ಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ: $T_{1}, T_{2}, T_{3}, . . . T_{n}$

ಉದಾಹರಣೆಗೆ:

$1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15$

$S = {x : (2 x + 1), 1 \leq x \leq 15}$

ಅಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು ಅಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಅಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪ: $T_{1}, T_{2}, T_{3}, . . .$

ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

$2, 4, 6, 8, 10, . . .$

$S = {x : 2 x, x > 0}$

ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ

ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿ ಪದವನ್ನು (ಮೊದಲನೇ ಪದವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ಅದರ ಹಿಂದಿನ ಪದಕ್ಕೆ ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕೂಡುವುದರಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು A.P. (Arithmetic Progression) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಶ್ರೇಢಿ	$T_{2} - T_{1}$	$T_{3} - T_{2}$	$T_{4} - T_{3}$
$5, 8, 11, 14, . . .$	3	3	3
$3, 13, 23, 33, . . .$	10	10	10
$1, - 1, - 3, - 5, . . .$	-2	-2	-2
$1, 1.5, 2, 2.5, . . .$	0.5	0.5	0.5

ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಪದ ಮತ್ತದರ ಹಿಂದಿನ ಪದದ ನಡುವಿನ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಸ್ಥಿರವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಈ ವ್ಯತ್ಯಾಸವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಅಥವಾ ಸ್ಥಿರಾಂಕ (Common Difference, C.D) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇದನ್ನು $d$ ಇಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ.

$T_{1}, T_{2}, T_{3}, T_{4}, . . .$

$d = T_{2} - T_{1} = T_{3} - T_{2} = T_{4} - T_{3} . . .$

ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು ಧನಸಂಖ್ಯೆ, ಋಣಸಂಖ್ಯೆ ಅಥವಾ ಸೊನ್ನೆಯಾಗಿರಬಹುದು. ಸ್ಥಿರಾಂಕವು ಸೊನ್ನೆಯಿದ್ದರೆ, ಅಂಥಹ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು ಸ್ಥಿರ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ.

$a$ ಮೊದಲನೇ ಪದವು, $d$ ಸ್ಥಿರಾಂಕವಾದರೆ,

$T_{1} = a$

$T_{2} = T_{1} + d = a + d$

$T_{3} = T_{2} + d = (a + d) + d = a + 2 d$

$T_{4} = T_{3} + d = (a + 2 d) + d = a + 3 d$

ಹಾಗಾಗಿ, $a$ ಮೊದಲನೇ ಪದವಾಗಿ, $d$ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿರುವ ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವು:

$a, (a + d), (a + 2 d), (a + 3 d), . . .$

ಪರಿಮಿತ ಮತ್ತು ಅಪರಿಮಿತ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಗಳು

ಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನೊಳಗೊಂಡ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು ಪರಿಮಿತ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

$5, 10, 15, 20, 25$

$S = {x : (3 x - 1), 0 \leq x \leq 50}$

ಅಪರಿಮಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಂಶಗಳನ್ನೊಳಗೊಂಡ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಡಿಯನ್ನು ಅಪರಿಮಿತ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

$5, 10, 15, 20, 25, . . .$

$S = {x : (3 x - 1), 0 \leq x}$

ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ $a$ ಮೊದಲನೇ ಪದ ಹಾಗೂ $d$ ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವಾಗಿದ್ದರೆ $n$ ನೇ ಪದವು $T_{n} = a + (n - 1) d$ ರೂಪದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ.

ಗಮನಾರ್ಹ ಅಂಶಗಳು
ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ $5, 10, 15, 20, 25, . . .$ ನ್ನು ಉದಾಹರಣೆಯಾಗಿ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ: $T_{1} = a = 5, d = T_{2} - T_{1} = 10 - 5 = 5$ $T_{1} = 5 = a = a + (1 - 1) d$ $T_{2} = 10 = 5 + 5 = a + d = a + (2 - 1) d$ $T_{3} = 15 = 5 + 5 + 5 = a + d + d = a + (3 - 1) d$ $T_{4} = 20 = 5 + 5 + 5 + 5 = a + d + d + d = a + (4 - 1) d$ $\dots$ $T_{n} = a + d + d + d . . . = a + (n - 1) d$ $∴ T_{n} = a + (n - 1) d$
$T_{n} + d = T_{n + 1}$	$T_{n} - d = T_{n - 1}$
$d = \frac{T_{p} - T_{q}}{p - q}$	$d = \frac{T_{n} - a}{n - 1}$

ಶ್ರೇಣಿ

ಶ್ರೇಢಿಯ ಮೊದಲ $n$ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಶ್ರೇಣಿ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. $T_{1}, T_{2}, T_{3} . . . T_{n}$ ಒಂದು ಶ್ರೇಢಿಯಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ $T_{1} + T_{2} + T_{3} + . . . + T_{n}$ ಅನ್ನು ಶ್ರೇಣಿ ಎನ್ನಬಹುದು. ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು $S_{n}$ ಎಂದು ಶೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ. ಹಾಗಾಗಿ, $S_{n} = T_{1} + T_{2} + T_{3} + . . . + T_{n}$ .

ಗಮನಾರ್ಹಾಂಶ
$S_{1} = T_{1}$
$S_{2} = T_{1} + T_{2}$
$S_{3} = T_{1} + T_{2} + T_{3} . . .$
$S_{n} - S_{n - 1} = T_{n}$

ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿರುವ ಪದಗಳ ಒಂದು ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಣಿ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ.

ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಮೊದಲ ಪದ $a$ , ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸ $d$ ಆಗಿದ್ದು, $S_{n}$ ಮೊದಲ $n$ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದರೆ,

$S_{n} = \frac{n}{2} [2 a + (n - 1) d]$

ಗಮನಾರ್ಹಾಂಶ:

$1 + 2 + 3 + . . . + n$ ಒಂದು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿದ್ದಲ್ಲಿ,

$a = 1, d = T_{2} - T_{1} = 2 - 1 = 1, n = n$

$S_{n} = \frac{n}{2} [2 a + (n - 1) d] = \frac{n}{2} [2 \times 1 + (n - 1) 1] = \frac{n}{2} [2 + n - 1]$

$S_{n} = \frac{n (n + 1)}{2} = \sum_{1}^{n} n$

ಮೊದಲ $n$ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ $= \frac{n (n + 1)}{2}$ ಅಥವಾ $\sum_{1}^{n} n = \frac{n (n + 1)}{2}$

ಅಲ್ಲದೆ, $S_{n} = \frac{n}{2} [2 a + (n - 1) d]$ ಅನ್ನು ಹೀಗೂ ಬರೆಯಬಹುದು:

$S_{n} = \frac{n}{2} [a + {a + (n - 1) d}]$

$∴ S_{n} = \frac{n}{2} [a + T_{n}] ∵ T_{n} = a + (n - 1) d$

$∴ \frac{a + T_{n}}{2} \to$ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಮೊದಲ ಮತ್ತು ಕೊನೆಯ ಪದಗಳ ಸರಾಸರಿ.

ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿ

ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿನ ಪದಗಳ ವ್ಯುತ್ಕ್ರಮಗಳು ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನುಂಟುಮಾಡಿದರೆ ಅಂಥಹ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನು ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿ (Harmonic Progression) ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ. ಇದನ್ನು H.P. ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಶ್ರೇಢಿಗಳು	ವ್ಯುತ್ಕ್ರಮಗಳು
$\frac{1}{2}, \frac{1}{5}, \frac{1}{8}, \frac{1}{11}, . . .$	$2, 5, 8, 11, . . .$
$\frac{1}{30}, \frac{1}{28}, \frac{1}{26}, \frac{1}{24}, . . .$	$30, 28, 26, 24, . . .$
$1, \frac{2}{3}, \frac{2}{4}, \frac{2}{5}, . . .$	$1, \frac{3}{2}, \frac{4}{2}, \frac{5}{2}, . . .$

ಒಂದು ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆ ಪದವು $a$ ಮತ್ತು ಸಾಮಾನ್ಯ ವ್ಯತ್ಯಾಸವು $d$ ಎಂದಾದರೆ, ಆ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವು Failed to parse (syntax error): {\displaystyle a,\ a+d,\ a+2d,\...,\ a+(n-1)d} ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಮೇಲೆ ತಿಳಿಸಿದಂತೆ ಈ ಪದಗಳ ವ್ಯುತ್ಕ್ರಮಗಳು ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿಯನ್ನುಂಟು ಮಾಡುತ್ತವೆ.

Failed to parse (syntax error): {\displaystyle \therefore \frac{1}{a},\ \frac{1}{a+d},\ \frac{1}{a+2d},\...,\ \frac{1}{a+(n-1)d} }

$∴$ ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿಯ $n$ ನೇ ಪದವು, $T_{n} = \frac{1}{a + (n - 1) d}$

ಇಲ್ಲಿ ಗಮನಿಸಬೇಕಾದ ಅಂಶವೆಂದರೆ, ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿನ $n$ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತವನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಯಾವುದೇ ಸೂತ್ರವಿರುವುದಿಲ್ಲ.

ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿ

ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಪ್ರತೀ ಪದವನ್ನು (ಮೊದಲನೇ ಪದವನ್ನು ಹೊರತುಪಡಿಸಿ) ಅದರ ಹಿಂದಿನ ಪದವನ್ನು ಒಂದು ನಿರ್ದಿಷ್ಟ, ಶೂನ್ಯವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದರಿಂದ ಪಡೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನುG.P. (Geometric Progression) ಎಂದು ಸೂಚಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

$1, 3, 9, 27, . . .$

$2, 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, . . .$

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಗಳಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೇ ಶ್ರೇಢಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವನ್ನು ಅದರ ಹಿಂದಿನ ಪದವನ್ನು $3$ ರಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದರಿಂದ ಪಡೆದಿರುವುದನ್ನೂ, ಎರಡನೇ ಶ್ರೇಢಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪದವನ್ನು ಅದರ ಹಿಂದಿನ ಪದವನ್ನು $\frac{1}{2}$ ರಿಂದ ಗುಣಿಸುವುದರಿಂದ ಪಡೆದಿರುವುದನ್ನು ಕಾಣಬಹುದು. ಇಂತಹ ಸ್ಥಿರಾಂಕವನ್ನು ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತ (Common Ratio) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಇದನ್ನು $r$ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತಾರೆ.

ಶ್ರೇಢಿ	$\frac{T_{2}}{T_{1}}$	$\frac{T_{3}}{T_{2}}$	$\frac{T_{4}}{T_{3}}$
$3, 9, 27, 81, . . .$	$3$	$3$	$3$
$1000, 100, 10, 1, . . .$	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{10}$	$\frac{1}{10}$
$5, 25, 125, 625, . . .$	$5$	$5$	$5$

$T_{1}, T_{2}, T_{3}, T_{4}, . . .$ ಗಳು ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿನ ಪದಗಳಾದರೆ, ಅದರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತ, $r = \frac{T_{2}}{T_{1}} = \frac{T_{3}}{T_{2}} = \frac{T_{4}}{T_{3}} = . . . = \frac{T_{n}}{T_{n - 1}}$

ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯೊಂದರ ಮೊದಲನೇ ಪದ $a$ ಎಂದೂ, ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತವು $r$ ಎಂದಾದಲ್ಲಿ, ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ರೂಪವು $a, a r, a r^{2}, a r^{3}, a r^{4}, . . ., a r^{n - 1}$ ಆಗಿರುತ್ತದೆ.

ಗಮನಾರ್ಹಾಂಶ:

ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪದ: $T_{n} = a r^{n - 1}$

ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತ $r$ ಇರುವ ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿ ಮುಂದಿನ ಕ್ರಮಾನುಗತ ಪದವನ್ನು ಪಡೆಯಲು, ಹಿಂದಿನ ಪದವನ್ನು $r$ ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿ: $T_{n + 1} = T_{n} \times r$

ಅಲ್ಲದೆ, ಹಿಂದಿನ ಪದವನ್ನು ಪಡೆಯಲು $r$ ನಿಂದ ಭಾಗಿಸಿ ಪಡೆಯಬಹುದು: $T_{n - 1} = T_{n} \div r$

ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಣಿಗಳು

ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯಲ್ಲಿನ ಪದಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಶ್ರೇಣಿಯನ್ನು ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಣಿ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ.

ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

$1 + 3 + 9 + 27 + . . .$

$2 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + . . .$

ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮೊದಲ $n$ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ

ಮೊದಲನೇ ಪದವು $a$ ಆಗಿದ್ದು, ಸಾಮಾನ್ಯ ಅನುಪಾತ $r$ ಆಗಿರುವಂತಹ ಒಂದು ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿಯು $S_{n}$ ಆಗಿರಲಿ.

$S_{n} = a + a r + a r^{2} + a r^{3} + . . . + a r^{n - 1}$

$S_{n}$ ಅನ್ನು $r$ ನಿಂದ ಗುಣಿಸಿದಾಗ,

$r S_{n} = a r + a r^{2} + a r^{3} + a r^{4} + . . . + a r^{n - 1} + a r^{n}$

$\begin{matrix} S_{n} - r S_{n} & = a + a r + a r^{2} + a r^{3} + . . . + a r^{n - 1} \\ S_{n} (1 - r) & = \underline{- a r - a r^{2} - a r^{3} - a r^{4} - . . . - a r^{n - 1} - a r^{n}} \\ = a + a r + a r^{2} + a r^{3} + . . . + a r^{n - 1} \\ = \underline{- a r - a r^{2} - a r^{3} - a r^{4} - . . . - a r^{n - 1} - a r^{n}} \\ = a - a r^{n} \end{matrix}$

$∴ S_{n} = \frac{a (1 - r^{n})}{1 - r} r \neq 1$

ಶ್ರೇಢಿಗಳು (ಗಣಿತ)

ಪರಿವಿಡಿ

ಪರಿಮಿತ ಮತ್ತು ಅಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿಗಳು

ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ

ಪರಿಮಿತ ಮತ್ತು ಅಪರಿಮಿತ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಗಳು

ಶ್ರೇಣಿ

ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿ

ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿ

ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಣಿಗಳು

ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮೊದಲ $n$ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ

ಸಂಚರಣೆ ಪಟ್ಟಿ

ಶ್ರೇಢಿಗಳು (ಗಣಿತ)

ಪರಿಮಿತ ಮತ್ತು ಅಪರಿಮಿತ ಶ್ರೇಢಿಗಳು

ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿ

ಪರಿಮಿತ ಮತ್ತು ಅಪರಿಮಿತ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಢಿಗಳು

ಶ್ರೇಣಿ

ಹರಾತ್ಮಕ ಶ್ರೇಢಿ

ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಢಿ

ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಣಿಗಳು

ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮೊದಲ n ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ

ಸಂಚರಣೆ ಪಟ್ಟಿ

ಹುಡುಕು

ಗುಣೋತ್ತರ ಶ್ರೇಣಿಯ ಮೊದಲ $n$ ಪದಗಳ ಮೊತ್ತ