ಕಾರ್ಲ್ ಗುಸ್ಟಾಫ್ ಯಾಕಾಪ್ ಯಾಕೋಬೀ

ಕಾರ್ಲ್ ಗುಸ್ಟಾಫ್ ಯಾಕಾಪ್ ಯಾಕೋಬೀ (1804-51) ಜರ್ಮನಿಯ ಒಬ್ಬ ಗಣಿತವಿದ.

ಜನನ, ಬಾಲ್ಯ, ವಿದ್ಯಾಭ್ಯಾಸ

ಪೂರ್ವ ಜರ್ಮನಿಯ ಪಾಟ್ಸ್‌ಡ್ಯಾಮ್ ನಗರದಲ್ಲಿ ಜನಿಸಿದ (10 ಡಿಸೆಂಬರ್ 1804). ತಂದೆ ಸೈಮನ್ ಯಾಕೋಬೀ ಒಬ್ಬ ಯಹೂದಿ ಬ್ಯಾಂಕರ್ ಆಗಿದ್ದವ. ಕಾರ್ಲ್ ಯಾಕೋಬೀ ಶ್ರೀಮಂತ ಹಾಗೂ ಸುಸಂಸ್ಕೃತ ಕುಟುಂಬದಲ್ಲಿ ಬೆಳೆದು ಬಂದವ. ಇವನ ಮೊದಲಿನ ಹೆಸರು ಸೈಮನ್ ಜಾಕ್ಯೂಸ್ ಎಂದಿತ್ತು. ಇವನ ಅಣ್ಣ ಮೋರಿಟ್ಸ್ ಮುಂದೆ ಸೇಂಟ್ ಪೀಟರ್ಸ್‌ಬರ್ಗಿನಲ್ಲಿ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನಿಯಾಗಿ ಹೆಸರುಗಳಿಸಿದ. ತಮ್ಮ ಎಡ್ಯುಯರ್ಡ್ ತಂದೆಯ ಕಾಲಾನಂತರ ಬ್ಯಾಂಕಿಂಗ್ ಉದ್ಯಮದಲ್ಲೇ ಮುಂದುವರೆದ. ತಿರೇಸೆ ಎಂಬವಳು ಇವರಿಗಿದ್ದ ಒಬ್ಬಳೇ ಸಹೋದರಿ. ಕಾರ್ಲ್ ಯಾಕೋಬೀಯ ಮೊದಮೊದಲ ವಿದ್ಯಾಭ್ಯಾಸಕ್ಕೆ ಇವನ ಸೋದರಮಾವನೇ ನೆರವಾದ. ಬಳಿಕ ಪಾಟ್ಸ್‌ಡ್ಯಾಮ್ ಜಿಮ್ನಾಸಿಯಮ್ ಶಾಲೆ ಸೇರಿ (1816) ತನ್ನ ವಯಸ್ಸಿಗೂ ಮಿಗಿಲಾದ ಬುದ್ಧಿವಂತಿಕೆ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಿದ್ದರಿಂದ ಈತನನ್ನು ಉನ್ನತದರ್ಜೆಯ ತರಗತಿಗೆ ಮುಂದೂಡಲಾಯಿತು. ತನ್ನ ನಾಲ್ಕು ವರ್ಷಗಳ ಅವಧಿಯ ತನಕವೂ ಜಿಮ್ನಾಸಿಯಮ್‌ನಲ್ಲೆ ಉಳಿಯಬೇಕಾಯಿತು. ಏಕೆಂದರೆ 16 ವರ್ಷ ವಯಸ್ಸಾಗುವ ತನಕವೂ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯಕ್ಕೆ ಪ್ರವೇಶ ಆಗ ಸಾಧ್ಯವಾಗಿರಲಿಲ್ಲ. ಜಿಮ್ನಾಸಿಯಮ್ಮಿನಿಂದ ಪದವಿ ಪಡೆದು (1821) ಗ್ರೀಕ್, ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಭಾಷೆಗಳು, ಇತಿಹಾಸಗಳಲ್ಲೂ ಪರಿಣಿತಿ ಪಡೆದ. ಶಾಲಾ ಪಠ್ಯಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಗೊತ್ತುಪಡಿಸಿದುಕ್ಕಿಂತಲೂ ಮಿಗಿಲಾದ ಗಣಿತ ಜ್ಞಾನ ಗಳಿಸಿಕೊಂಡಿದ್ದ. ಆ ವೇಳೆಗಾಗಲೇ ಮೇಧಾವಿ ಆಯ್ಲರನ ಇನ್‌ಟ್ರೊಡಕ್ಷಿಯೊ ಇನ್ ಅನಾಲಿಸಿಸ್ ಇನ್‌ಫಿನಿಟೋರಮ್ ಎಂಬ ಗ್ರಂಥವನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡಿಕೊಂಡು ಐದನೆಯ ವರ್ಗದ ಬೀಜಗಣಿತೀಯ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಿಡಿಸುವ ಪ್ರಯತ್ನ ಕೂಡ ನಡೆಸಿದ್ದ.ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Sfnಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Sfn

ಬರ್ಲಿನ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯವನ್ನು ಸೇರಿದ ತನ್ನ ಮೊದಲೆರಡು ವರ್ಷಗಳಲ್ಲಿ ತತ್ತ್ವಶಾಸ್ತ್ರ, ಅಭಿಜಾತ ವಿಷಯಗಳು ಹಾಗೂ ಗಣಿತವಿಜ್ಞಾನಗಳಲ್ಲಿ ಯಾಕೋಬೀ ತನ್ನನ್ನು ತೊಡಗಿಸಿಕೊಂಡ. ಆದರೆ ಕಾಲಾವಕಾಶವಿರದ ಕಾರಣ ಕೇವಲ ಗಣಿತ ವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ತನ್ನ ಆಸಕ್ತಿಯನ್ನು ಕೇಂದ್ರೀಕರಿಸಿದ.ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Sfn ಆಗಿನ ಜರ್ಮನಿಯಲ್ಲಿ ಜರುಗುತ್ತಿದ್ದ ಗಣಿತವಿಜ್ಞಾನ ಸಂಬಂಧಿ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳು ತೀರಾ ಪ್ರಾಥಮಿಕ ಮಟ್ಟದವಾಗಿದ್ದು ಇವನಿಗೆ ಅದು ಹಿಡಿಸದೆ ಆಯ್ಲರ್, ಲಗ್ರಾಂಜ್ ಮೊದಲಾದ ಪ್ರಸಿದ್ಧ ಗಣಿತವಿದರ ಗಣಿತ ಕೃತಿಗಳನ್ನು ಸ್ವತಃ ಅಭ್ಯಾಸಮಾಡಿ ಅವನ್ನು ಕರತಲವಾಗಿಸಿಕೊಂಡ. ಆ ವೇಳೆಗೆ ಗಣಿತವಿದ ಡಿರ್‌ಶ್ಲೇ ಪ್ಯಾರಿಸ್ಸಿಗೆ ಹೋಗಿದ್ದ. ಅಲ್ಲಿ ಗಣಿತವಿದರಾಗಿದ್ದ ಬಯೋಟ್, ಫೋರ್ಯೇ, ಲಾಪ್ಲಾಸ್, ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ ಮತ್ತು ಪ್ವಾಸ್ವಾನರು ಗಣಿತವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಸಕ್ರಿಯವಾಗಿ ದುಡಿಯುತ್ತಿದ್ದರು. ಗಾಟಿಂಗೆನ್ನಿನಲ್ಲಿಯ ಗಣಿತ ಮೇಧಾವಿ, ಕಾರ್ಲ್ ಗೌಸನನ್ನು (1777-1855) ಬಿಟ್ಟರೆ ಜರ್ಮನಿಯಲ್ಲಿ ಅಂಥ ಸರಿಸಮಾನ ಎನಿಸುವ ಮೇಧಾಪೂರ್ಣ ಗಣಿತ ಚಟುವಟಿಕೆ ಇದ್ದಿಲ್ಲ.

ಯಾಕೋಬೀ 1824ರ ಕೊನೆಯ ವೇಳೆಗೆ ಪಾಠ ಬೋಧನೆಗೆ ನಿಗದಿಪಡಿಸಿದ ಪರೀಕ್ಷೆಯೊಂದರಲ್ಲಿ ತೇರ್ಗಡೆಯಾದ. ಈ ಕಾರಣ ಪ್ರೌಢಶಾಲೆಗಳ ಎಲ್ಲ ತರಗತಿಗಳಿಗೆ ಗಣಿತವಿಜ್ಞಾನ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಗ್ರೀಕ್, ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಭಾಷೆಗಳನ್ನು ಕಿರಿಯ ಪ್ರೌಢಶಾಲಾ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ಪ್ರಾಚೀನ ಮತ್ತು ಇತಿಹಾಸವನ್ನೂ ಬೋಧಿಸುವುದು ಇವನಿಗೆ ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು. ಯಹೂದಿ ಮನೆತನಕ್ಕೆ ಸೇರಿದವನಾದರೂ ಇವನಿಗೆ ಬರ್ಲಿನ್ನಿನ ಜೋಕಿಂಮಸ್ಥಾಲ್ಷೆ ಜಿಮ್ನಾಸಿಯಮ್ ಶಾಲೆಯಲ್ಲಿ ಹುದ್ದೆಯೊಂದನ್ನು ನೀಡಲಾಯಿತು. ಆ ವೇಳೆಗೆ ಈತ ಬರ್ಲಿನ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯಕ್ಕೆ ಪಿ.ಎಚ್.ಡಿ. ಪದವಿಗಾಗಿ ತನ್ನ ಮಹಾಪ್ರಬಂಧವನ್ನು ಒಪ್ಪಿಸಿದ್ದ. ಅನಂತರ ಕ್ರೈಸ್ತಮತವನ್ನು ಆತುಕೊಂಡು ತನ್ನ ಇಪ್ಪತ್ತನೆಯ ವಯಸ್ಸಿನಲ್ಲಿ ಬರ್ಲಿನ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿ ಉಪನ್ಯಾಸಕನ ಹುದ್ದೆ ಗಳಿಸಿಕೊಂಡ.

ವೃತ್ತಿಜೀವನ, ಸಾಧನೆಗಳು

ಯಾಕೋಬೀಗೆ ಗಣಿತವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಅಪಾರ ಶ್ರದ್ಧೆ ಇತ್ತು. ಇವನ ಮೊತ್ತಮೊದಲ ಉಪನ್ಯಾಸ 1825-26ರ ಚಳಿಗಾಲದಲ್ಲಿ ನಡೆಯಿತು. ಮೂರು ಆಯಾಮದ ಆಕಾಶದಲ್ಲಿಯ ವಕ್ರರೇಖೆಗಳು ಹಾಗೂ ಮೇಲ್ಮೈಗಳನ್ನು ಕುರಿತ ವಿಶ್ಲೇಷಣಾ ಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿತ್ತು ಆ ಉಪನ್ಯಾಸ.ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Sfnಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Sfn ಇವನ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳು ಬಲು ಜನಾಕರ್ಷಣೀಯವಾಗಿದ್ದುವು. ಹೀಗಾಗಿ ಇವನ ಪಾಂಡಿತ್ಯ, ಯಶಸ್ಸುಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಷ್ಯದ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಚಿವಾಲಯಕ್ಕೆ ಸುದ್ದಿ ಹೋಗಿ ಅಲ್ಲೂ ಈತ ಖ್ಯಾತಿಗಳಿಸಿದ. ಬರ್ಲಿನ್ನಿನ ಉದ್ಯೋಗದಲ್ಲಿ ಅಷ್ಟೇನೂ ಪ್ರಗತಿ ಕಾಣಿಸದಿದ್ದು ಇವನನ್ನು ಕೋನಿಗ್ಸ್‌ಬರ್ಗ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯಕ್ಕೆ ವರ್ಗಮಾಡಲು ಶಿಫಾರಸ್ಸು ಮಾಡಲಾಯಿತು. ಈತ ಕೋನಿಗ್ಸ್‌ಬರ್ಗಿಗೆ ಬಂದಾಗ (1826) ಅಲ್ಲಿದ್ದ ಭೌತವಿಜ್ಞಾನಿಗಳಾದ ಫ್ರಾನ್ಸ್ ನ್ಯೂಮಾನ್ ಮತ್ತು ಹೈನ್ರಿಕ್ ಡೊವ್ ಎಂಬವರು ಆಗಷ್ಟೇ ತಮ್ಮ ಶೈಕ್ಷಣಿಕ ವೃತ್ತಿಯನ್ನು ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿದ್ದರು. ಅಲ್ಲಿಯ ಮತ್ತೊಬ್ಬ ಗಣಿತವಿದ, ನಲವತ್ತು ವಯಸ್ಸಿನ ಫ್ರೆಡರಿಕ್ ಬೆಸಲ್ ಖಗೋಳವಿಜ್ಞಾನ ವಿಭಾಗದ ಮುಖ್ಯಸ್ಥನಾಗಿದ್ದ. ಇಂಥವರ ಸಾಹಚರ್ಯದಿಂದ ಯಾಕೋಬೀಗೆ ಅನ್ವಿತ ಸಮಸ್ಯೆಗಳಲ್ಲಿ (applied problems) ಹೆಚ್ಚಿನ ಆಸಕ್ತಿ, ಒಲವು ಮೂಡಿತು. ಇವನ ಮೊದಮೊದಲ ಕೃತಿಗಳು ಬಹುಮಂದಿ ಗಣಿತವಿದರ ಗಮನವನ್ನು ಸೆಳೆದುವು. ಈತನನ್ನು ಸಹಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕನನ್ನಾಗಿ ನೇಮಿಸಲಾಯಿತು (1827). ಕೋನಿಗ್ಸ್‌ಬರ್ಗಿಗೆ ಬಂದ ಕೆಲವಾರು ತಿಂಗಳುಗಳ ಬಳಿಕ ಸಂಖ್ಯಾಸಿದ್ಧಾಂತದ ಬಗ್ಗೆ, ಅದರಲ್ಲೂ ಮುಖ್ಯವಾಗಿ ಘನಾತ್ಮಕ ಶೇಷಗಳ (cubic residue) ಬಗ್ಗೆ ಜರ್ಮನಿಯ ಗಣಿತವಿದ ಕಾರ್ಲ್ ಗೌಸನಿಗೆ ತಿಳಿಯಪಡಿಸಿದ. ಈ ಬಗ್ಗೆ ತನ್ನ ಮೊತ್ತಮೊದಲ ಪ್ರೌಢಪ್ರಬಂಧವನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದ (1827). ದ್ವಿಘಾತೀಯ ಶೇಷಗಳನ್ನು (ಕ್ವಾಡ್ರಾಟಿಕ್ ರೆಸಿಡ್ಯೂಸ್) ಕುರಿತು ಗಾಟಿಂಗೆನ್ ಅಕೆಡಮಿಗೆ ಗೌಸ್ ಬರೆದಿದ್ದ ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳಲ್ಲಿ ಯಾಕೋಬೀಯ ಬಗ್ಗೆ ಅಭಿನಂದನಾ ಉಲ್ಲೇಖಗಳಿದ್ದುದರಿಂದ ಯಾಕೋಬೀ ಉಮೇದು ಪಡೆದಿದ್ದ. ಆಗಿನ ಕಾಲಕ್ಕೆ ಗಣಿತ ವಿಜ್ಞಾನದ ಅರಸುಪುತ್ರ ಎಂದು ಹೆಸರು ಪಡೆದಿದ್ದ ಗೌಸನೇ ಯಾಕೋಬೀಯ ಕೆಲಸಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಮೆಚ್ಚುಗೆ ಸೂಚಿಸಿದ್ದ. ಯಾಕೋಬೀಯ ದೀರ್ಘವೃತ್ತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಎಂದು ಈಗ ಕರೆಯಲಾಗುವ ವಿಷಯದ ಬಗ್ಗೆ ಯಾಕೋಬೀ ಪ್ರೌಢಪ್ರಬಂಧವನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದ (1829). ಇದನ್ನು ವಿಸ್ತರಿಸಿ 1832 ರಲ್ಲಿ ಅತಿದೀರ್ಘವೃತ್ತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು (ಹೈಪರ್ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಸ್) ಎಂಬುದರ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಶೋಧನೆ ನಡೆಸಿದ. ಇದಲ್ಲದೆ ಒಂದಕ್ಕಿಂತಲೂ ಅಧಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಚರಗಳಿರುವ ಅಬೇಲಿಯನ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕುರಿತೂ ಅಧ್ಯಯನ ನಡೆಸಿದ. ದೀರ್ಘವೃತ್ತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ (ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಫಂಕ್ಷನ್) ಬಗ್ಗೆ ಈತ ನಡೆಸಿದ್ದ ಸಂಶೋಧನೆಗಳನ್ನು ಕಂಡು ಮೆಚ್ಚಿಕೊಂಡಿದ್ದವ ಫ್ರೆಂಚ್ ಗಣಿತವಿದ ಆಡ್ರಿಯನ್ ಲೆಜೆಂಡ್ರೆ (1752-1833). ಇವನ ಪ್ರಶಂಸೆ ಹಾಗೂ ಶಿಫಾರಸ್ಸಿಗೆ ಅನುಗುಣವಾಗಿ ಯಾಕೋಬೀಗೆ ಸಹಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕನ ಹುದ್ದೆ ದೊರಕಿತು. ಮುಂದೆ ಈತನನ್ನು ಪೂರ್ಣಾವಧಿಯ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕನನ್ನಾಗಿ ನೇಮಕ ಮಾಡಲಾಯಿತು (1832). ಈ ನೇಮಕ ಮಾಡಲು ಲ್ಯಾಟಿನ್ ಭಾಷೆಯಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಗಂಟೆಗಳ ಅವಧಿಯ ವಿವಾದಾತ್ಮಕ ಚರ್ಚೆಯೂ ನಡೆದಿತ್ತು. ಈ ಹುದ್ದೆಯನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಹಲವಾರು ತಿಂಗಳುಗಳ ಮೊದಲು ಯಾಕೋಬೀ ಒಬ್ಬ ಶ್ರೀಮಂತನ ಮಗಳಾಗಿದ್ದ ಮೇರಿ ಷ್ವೆವಿಂಕ್ ಎಂಬವಳನ್ನು ವಿವಾಹವಾದ. ಈ ದಂಪತಿಗಳಿಗೆ ಐದು ಮಂದಿ ಗಂಡು, ಮೂವರು ಹೆಣ್ಣು ಮಕ್ಕಳಾದರು.

ಕೋನಿಗ್ಸ್‌ಬರ್ಗ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿದ್ದ ಹದಿನೆಂಟು ವರ್ಷಗಳ ಪರ್ಯಂತ ಯಾಕೋಬೀ ಗಣಿತಪ್ರಪಂಚದಲ್ಲೇ ಮಹತ್ತ್ವದ್ದೆನಿಸಿದಂಥ, ದೀರ್ಘವೃತ್ತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಕುರಿತ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಬಗ್ಗೆ ಸಂಶೋಧನೆಗಳನ್ನು ಕೈಗೊಂಡದ್ದು ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ನಾರ್ವೇಯ ಗಣಿತವಿಜ್ಞಾನಿ ನೀಲ್ಸ್ ಹೆನ್ರಿಕ್ ಅಬೆಲ್ (1802-29) ಎಂಬವ ಈ ವಿಷಯ ಕುರಿತು ನಡೆಸಿದುದಕ್ಕೆ ಸ್ಪರ್ಧಾತ್ಮಕವಾಗೇ ಇತ್ತು. ದೀರ್ಘವೃತ್ತೀಯ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು, ಗಣಿತೀಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ, ಸಂಖ್ಯಾಸಿದ್ಧಾಂತ, ಜ್ಯಾಮಿತಿ ಮತ್ತು ಬಲವಿಜ್ಞಾನಗಳನ್ನು ಕುರಿತ ಯಾಕೋಬೀಯ ಸಂಶೋಧನಾ ಲೇಖನಗಳು ಕ್ರೀಲೇ ಎಂಬವ ಪ್ರಕಟಿಸಿದ ಪ್ರೌಢಪತ್ರಿಕೆಯೊಂದರಲ್ಲಿ ಪ್ರಕಟವಾದುವು. ಈ ಪತ್ರಿಕೆಯ ಬೆಳೆವಣಿಗೆಗೆ, ಪ್ರಪಂಚಖ್ಯಾತಿಗೆ ಯಾಕೋಬೀ ಬಲು ನೆರವಾದ. ಇಷ್ಟಾದರೂ ಬೋಧನೆಯಲ್ಲಿ ಆಸಕ್ತಿ ಕಳೆದುಕೊಂಡಿರಲಿಲ್ಲ. ಸಾಂಪ್ರದಾಯಿಕ ವಿಧಿ ವಿಧಾನಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಅತೃಪ್ತಿಪಟ್ಟುಕೊಂಡು ತನ್ನ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿಗಳಿಗೆ ತನ್ನವೇ ಆದ ಸಂಶೋಧನಾ ವಿಚಾರಗಳನ್ನು ತಿಳಿಯಪಡಿಸುತ್ತಿದ್ದ. ಗಂಟೆಗಟ್ಟಲೆ ಉಪನ್ಯಾಸವನ್ನೂ ನೀಡುವವನಾಗಿದ್ದ. ಬೋಧನೆ ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಸಂಶೋಧನಾ ವ್ಯಾಸಂಗ ಗೋಷ್ಠಿಗಳನ್ನು ಕೂಡ ಏರ್ಪಡಿಸಿ ತನ್ನ ವಿದ್ಯಾರ್ಥಿ, ಸಹೋದ್ಯೋಗಿ ಮಿತ್ರರ ಅಪಾರ ವಿಶ್ವಾಸಗಳಿಸಿಕೊಂಡ.

ಬಹುಮುಖ ಪ್ರತಿಭೆಯ ಯಾಕೋಬೀಯ ಮನೋಧರ್ಮ ಅನೇಕರಿಗೆ ಹಿಡಿಸಿ ಇವನ ಜಾಡಿನಲ್ಲಿ ಅವರೆಲ್ಲ ಮಾರ್ಗಕ್ರಮಣ ಮಾಡತೊಡಗಿದರು. ಸಿ.ಡಬ್ಲ್ಯು. ಬೋರ್‌ಕಾರ್ಡ್‌ಟ್, ಇ. ಹೈನ್. ಎಲ್.ಓ.ಹೆಸ್, ಫೆ.ಜೆ. ರಿಚೆಲೆ. ಜೆ. ರೋಸನ್ ಹೈನ್, ಪಿ.ಎಲ್. ಫಾನ್ ಸೀಡಲ್ ಮುಂತಾದವರೆಲ್ಲ ಇವನ ಸಂಪ್ರದಾಯದ ವಲಯಕ್ಕೆ ಸೇರಿದವರಾದರು. ಇವರೆಲ್ಲ ಯಾಕೋಬೀಯ ಗಣಿತೀಯ ಸೃಷ್ಟಿಗೆ ತಮ್ಮ ಕೊಡುಗೆ ಇತ್ತರು ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದ ಬೋಧನೆಯಲ್ಲಿ ಸಂಶೋಧನಾಪರ ಮನೋಭಾವ ಉಂಟುಮಾಡಲು ಬಲುಮಟ್ಟಿಗೆ ನೆರವಾದರು ಕೂಡ. ಹೀಗಾಗಿ ಜರ್ಮನಿಯ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯಗಳಲ್ಲಿ ಬೆಸೆಲ್-ಯಾಕೋಬೀ-ನ್ಯೂಮಾನ್ ತ್ರಯರ ಹೊಸ ಮನೋಭಾವ ಗಣಿತದ ಪುನರುಜ್ಜೀವನದ ಕೇಂದ್ರ ಬಿಂದುವಾಗಿ ಪರಿಣಮಿಸಿತು. 1841ರಲ್ಲಿ ಯಾಕೋಬೀ ನಿರ್ಧಾರಕಗಳ ರಚನೆ ಮತ್ತು ಗುಣವಿಶೇಷಗಳು ಎಂಬ ಪ್ರೌಢಪ್ರಬಂಧವನ್ನು ಬರೆದ.ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Sfn ಇದಲ್ಲದೆ ಯಾಕೋಬೀಯ ನಿರ್ಧಾರಕಗಳು ಎಂದೆನ್ನುವ ಉತ್ಪನ್ನೀಯ ನಿರ್ಧಾರಕಗಳ ಬಗ್ಗೆಯೂ ಅಧ್ಯಯನಗೈದ. ದರ್ಜೆ ಒಂದರ ಆಂಶಿಕ ಕಲನಸಮೀಕರಣಗಳ ಸಿದ್ಧಾಂತದಲ್ಲಿ ಗಮನಾರ್ಹ ಸಂಶೋಧನೆಗಳನ್ನು ನಡೆಸಿ ಅವನ್ನು ಗತಿವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ (dynamics) ಅನ್ವಯಮಾಡುವ ಬಗ್ಗೆ ವಿಶೇಷ ಕೆಲಸಮಾಡಿದ.

ಯಾಕೋಬೀ 1843 ರ ಪ್ರಾರಂಭದಲ್ಲಿ ಮಧುಮೇಹ ರೋಗಕ್ಕೆ ಈಡಾದ. ಜರ್ಮನಿಯ ಮತ್ತೊಬ್ಬ ಗಣಿತವಿದ ಪೀಟರ್ ಡಿರ್‌ಕ್ಲೇ(1805-59) ಈತನೊಡನೆ ಸುಮಾರು ಎರಡು ವಾರಗಳ ತನಕ ಇದ್ದು ಆಗಿನ ಅಲ್ಲಿಯ ದೊರೆಯಿಂದ ಅಗತ್ಯ ಆರ್ಥಿಕ ಸಹಾಯವನ್ನು ಒದಗಿಸಿಕೊಟ್ಟ. ಇದರಿಂದ ಯಾಕೋಬೀಗೆ ವೈದ್ಯರ ಆದೇಶದಂತೆ ಇಟಲಿಯಲ್ಲಿ ಸ್ವಲ್ಪ ತಿಂಗಳುಗಳು ಇರುವುದು ಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು. ಬೋರ್‌ಕಾರ್ಡ್‌ಟ್ ಮತ್ತು ಡಿರ್‌ಕ್ಲೇ ದಂಪತಿಗಳೊಡಗೂಡಿ ಯಾಕೋಬೀ ಇಟಲಿಯ ಪ್ರವಾಸ ಕೈಗೊಂಡ. ರೋಮಿನಲ್ಲಿ ಇವನ ಪ್ರತಿಭೆಗೆ ಪುರಸ್ಕಾರ ದೊರೆಯಿತು. ಮಾತ್ರವಲ್ಲದೆ ಅಲ್ಲಿಯ ಹವೆಯೂ ಅನುಕೂಲತಮವಾಗಿತ್ತು. ಇದರಿಂದಾಗಿ ಅವನ ಆರೋಗ್ಯದಲ್ಲಿ ಸುಧಾರಣೆ ಕಂಡುಬಂತು. ಗಣಿತವಿದ ಡಯೋಫಂಟಸನ ಅರಿತ್‌ಮೀಟಿಕ ಹಸ್ತಪ್ರತಿಗಳನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸುವ ಕಾರ್ಯವನ್ನು ವ್ಯಾಟಿಕನ್ ಗ್ರಂಥಾಲಯದಲ್ಲಿ ಯಾಕೋಬೀ ಕೈಗೆತ್ತಿಕೊಂಡ. ಅನೇಕ ಲೇಖನಗಳನ್ನು ಕೂಡ ಪ್ರಕಟಿಸಿದ. ಕೋನಿಗ್ಸ್‌ಬರ್ಗಿನ ಹವೆಯ ವೈಪರೀತ್ಯದಿಂದಾಗಿ ತನ್ನ ಆರೋಗ್ಯ ಮತ್ತೆ ಹದಗೆಡಬಹುದೆಂಬ ಶಂಕೆಯಿಂದ ರಾಜಾಸ್ಥಾನದಿಂದ ಅನುಜ್ಞೆ ಪಡೆದು 1844ರ ಜೂನ್ ತಿಂಗಳಿನಲ್ಲಿ ತನ್ನ ಸಂಸಾರದೊಂದಿಗೆ ಬರ್ಲಿನ್ನಿಗೆ ಹಿಂದಿರುಗಿದ. ಇವನಿಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತಿದ್ದ ಸಂಬಳವಲ್ಲದೆ ವೈದ್ಯಕೀಯ ಖರ್ಚುವೆಚ್ಚಗಳಿಗಾಗಿ ಹಾಗೂ ರಾಜಧಾನಿ ನಗರದಲ್ಲಿಯ ಹೆಚ್ಚಿನ ವೆಚ್ಚಗಳಿಗಾಗಿ ಅಧಿಕ ಹಣವನ್ನು ಒದಗಿಸಲಾಯಿತು.ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Sfn ಪ್ರಷ್ಯನ್ ಅಕೆಡಮಿಯ ಸದಸ್ಯನಾಗಿದ್ದುದರಿಂದ ಬರ್ಲಿನ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದಲ್ಲಿ ಉಪನ್ಯಾಸ ನೀಡಲು ಇವನಿಗೆ ಅವಕಾಶವಿತ್ತಾದರೂ ಅದು ಲಭ್ಯವಾಗಲಿಲ್ಲ. ಅಷ್ಟೇನೂ ಉತ್ತಮವಲ್ಲದ ಆರೋಗ್ಯದ ನಿಮಿತ್ತ ಕೆಲವೇ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ನೀಡುತ್ತಿದ್ದ. ಗತಿವಿಜ್ಞಾನದ ಮೇಲಿನ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳು ಎಂಬ ವಿಷಯದ ಮೇಲಿನ ಗ್ರಂಥವನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದ (1846). ಇದೇ ವರ್ಷ ಯಾಕೋಬೀ ಪ್ರಕಟಿಸಿದ ಹಾಗೂ 4ನೆಯ ಫ್ರೀಡ್ರಿಕ್ ವಿಲ್‌ಹೆಲ್ಮ್ ದೊರೆಗೆ ಅರ್ಪಿಸಿದ್ದ ಓಪನ್‌ಕ್ಯುಲ ಮ್ಯಾಥಮ್ಯಾಟಿಕದ ಮೊದಲನೆಯ ಸಂಪುಟದಲ್ಲಿ ದೊರೆಗೆ ತನ್ನ ಅಚಲ ವಿಶ್ವಾಸವನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದ್ದನಾದರೂ 1848ರಲ್ಲಿ ಕಾನ್‌ಸ್ಟಿಟ್ಯೂಷನಲ್ ಕ್ಲಬ್ಬಿನಲ್ಲಿ ಜರುಗಿದ ರಾಜಕೀಯ ಮಾತುಕತೆಗಳಲ್ಲಿ ನಿರಂಕುಶ ಪ್ರಭುತ್ವವಾದಿಗಳ ಹಾಗೂ ರಿಪಬ್ಲಿಕನ್ನರ ವಿರುದ್ಧ ಈತ ವಿರೋಧ ಅಭಿಪ್ರಾಯಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸಿದ. ಇದರಿಂದ ಸರ್ಕಾರಕ್ಕೆ ಇವನ ಮೇಲೆ ಸಂಶಯ ಮೂಡಿಬಂತು. ಬರ್ಲಿನ್ ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾಲಯದೊಂದಿಗೆ ಅಧಿಕೃತ ಸಂಪರ್ಕ ಇಟ್ಟುಕೊಳ್ಳಲು ಯಾಕೋಬೀ ಮಾಡಿದ ಮನವಿಯನ್ನು ಶಿಕ್ಷಣ ಸಚಿವಾಲಯ ತಿರಸ್ಕರಿಸಿತು. ಇದಲ್ಲದೆ ಈತನಿಗೆ ನೀಡಲಾಗುತ್ತಿದ್ದ ಬೋನಸ್ ಹಣವನ್ನೂ ವಾಪಸ್ಸು ಪಡೆದುಕೊಳ್ಳಲಾಯಿತು (1849). ಇದಕ್ಕೆ ಮುಂಚೆ ತನ್ನ ಆರ್ಜಿತ ಐಶ್ವರ್ಯವನ್ನೆಲ್ಲ ಯಾಕೋಬೀ ಕಳೆದುಕೊಳ್ಳಬೇಕಾಗಿ ಬಂತಾದ್ದರಿಂದ ಬರ್ಲಿನ್ನಿನ ತನ್ನ ಮನೆಯನ್ನು ಸಂಸಾರಸಮೇತ ತೊರೆಯಬೇಕಾಯಿತು. ಬಳಿಕ ಗೋತ ಎಂಬ ಸಣ್ಣ ಊರಿನಲ್ಲಿ ನೆಲೆಸಿದ.

ವಿಯೆನ್ನದಲ್ಲಿ 1849ರ ಅಂತ್ಯದ ವೇಳೆಗೆ ಯಾಕೋಬೀಗೆ ಪ್ರಾಧ್ಯಾಪಕನ ಹುದ್ದೆಯನ್ನು ನೀಡಲಾಯಿತು. ಇದರಿಂದ ಪ್ರಷ್ಯನ್ ಸರ್ಕಾರಕ್ಕೆ ಒಂದು ದೊಡ್ಡ ಆಘಾತವೇ ಆದಂತಾಯಿತು. ಯಾಕೋಬೀಯ ನಿರ್ಗಮನದಿಂದ ತನ್ನ ಪ್ರತಿಷ್ಠೆಗೆ ಭಂಗ ಬರುವುದೆಂಬುದನ್ನು ಮನಗಂಡ ಶಿಕ್ಷಣ ಸಚಿವಾಲಯ ಯಾಕೋಬೀಗೆ ವಿಶೇಷ ರಿಯಾಯಿತಿಗಳನ್ನು ನೀಡಿದ್ದು ಮತ್ತು ತನ್ನ ಸ್ವದೇಶದಲ್ಲೇ ನೆಲಸಬೇಕೆಂಬ ಇಚ್ಛೆಯಿದ್ದದ್ದು ಯಾಕೋಬೀಯ ನಿರ್ಧಾರವನ್ನು ಬದಲಿಸಿದುವು. ಹಿರಿಯ ಮಗ ಜಿಮ್ನಾಸಿಯಮ್ ಶಾಲೆಯಿಂದ ಪದವೀಧರನಾಗುವ ತನಕವೂ ಇವನ ಸಂಸಾರ ಮಾತ್ರ ಗೋತದಲ್ಲೇ ಒಂದು ವರ್ಷ ಕಾಲ ಉಳಿಯಬೇಕಾಗಿ ಬಂತು. 1850ರ ಬೇಸಗೆಯ ಸಮಯದಲ್ಲಿ ಸಂಖ್ಯಾಸಿದ್ಧಾಂತದ ಬಗ್ಗೆ ಉಪನ್ಯಾಸಗಳನ್ನು ನೀಡುತ್ತಿದ್ದ ಯಾಕೋಬೀ ಅನಂತರದ ರಜಾದಿವಸಗಳಲ್ಲಿ ತನ್ನ ಸಂಸಾರವನ್ನು ಕೂಡಿಕೊಂಡು ತನ್ನ ಮಿತ್ರ ಪಿ.ಎ. ಹ್ಯಾನ್‌ಸನ್ ಎಂಬವನೊಡನೆ ಖಗೋಳವಿಜ್ಞಾನ ಬಗೆಗಿನ ಪ್ರೌಢಪ್ರಬಂಧದ ರಚನೆಯಲ್ಲಿ ತೊಡಗಿದ.

1851ರ ಪ್ರಾರಂಭದಲ್ಲಿ ತನ್ನ ಮನೆಗೆ ಭೇಟಿಕೊಟ್ಟ ಬಳಿಕ ಇನ್‌ಫ್ಲುಯೆಂಜ಼ ಕಾಯಿಲೆಗೆ ಯಾಕೋಬೀ ಈಡಾದ. ಇದರಿಂದ ಚೇತರಿಸಿಕೊಳ್ಳಲಾರದೆ ಸಿಡುಬು ರೋಗಕ್ಕೂ ಬಲಿಯಾಗಿ ಇದಾದ ಒಂದು ವಾರದ ಒಳಗೇ ತೀರಿಕೊಂಡ (18-2-1851). ಇವನ ಆಪ್ತಸಖ ಡಿರ್‌ಕ್ಲೇ ಬರ್ಲಿನ್ ಅಕೆಡಮಿಯಲ್ಲಿ ಯಾಕೋಬೀ ಸ್ಮಾರಕ ಉಪನ್ಯಾಸಕೊಟ್ಟು (1 ಜುಲೈ 1852) ಈತನನ್ನು ಅಕೆಡಮಿಯ ಸದಸ್ಯರ ಪೈಕಿ, ಲಗ್ರಾಂಜನನ್ನು ಬಿಟ್ಟರೆ ಇವನೇ ಅತ್ಯುತ್ತಮ ಗಣಿತವಿದ ಎಂದು ಘೋಷಿಸಿದ. ಯಾಕೋಬೀಯ ಗಣಿತೀಯ ಸಾಧನೆಗಳ ಬಗ್ಗೆಯೂ ತಿಳಿಸಿಕೊಟ್ಟ.

ಗಣಿತ ಸಾಧನೆಗಳು

ಯಾಕೋಬೀಯ ಗಣಿತ ಸಾಧನೆಗಳ ಸ್ಥೂಲಪರಿಚಯವನ್ನು ಈ ಮುಂದೆ ಮಾಡಿದೆ:

1. ಯಾಕೋಬೀಯನ್ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು: ದೀರ್ಘವೃತ್ತವೊಂದರ (ಎಲಿಪ್ಸ್) ಪರಿಧಿಯನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸುವಾಗ $u=\int \sqrt{1-k^2{\sin }^{2}x}dx$ ಎಂಬ ರೂಪದ ಸಮಾಸಕಲನಾಂಕ ಬರುತ್ತದೆ. ಇಲಿ k ಸ್ಥಿರಾಂಕ 0 < k <1. ಈ ಸಮಾಸಕಲನಾಂಕವನ್ನು ಇತರ ಪರಿಚಿತ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮೂಲಕ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಈ ಕಾರಣಕ್ಕಾಗಿ ಇದನ್ನು ದೀರ್ಘವೃತ್ತೀಯ ಸಮಾಸಕಲನಾಂಕ (ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಇಂಟೆಗ್ರಲ್) ಎಂದು ಹೇಳುವುದಿದೆ. ಇದನ್ನು ವಿಲೋಮಗೊಳಿಸಿ x ಅನ್ನು u ಮೂಲಕ ನಿರೂಪಿಸುವ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು x = sn u ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಸೈನ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಈಗ ಎಲಿಪ್ಟಿಕ್ ಕೋಸೈನ್ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು $cuu=\sqrt{1-{\sin }^{2}u}$  ಎಂದೂ ಇನ್ನೊಂದು ಉತ್ಪನ್ನ d_nu ವನ್ನು $d_{n}u=\sqrt{1-k^{2}s{n}^{2}u}$ ಎಂದೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ k ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಮಾಡುಲಸ್. ಇವು ಭೌತವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಕಾಣಬರುತ್ತವೆ.

2. ಯಾಕೋಬೀಯ ನಿರ್ಧಾರಕಗಳು: x₁, x₂,..........., x_n ಗಳು n ನೈಜಚರ u₁, u₂,..........., u_n ಗಳಿರುವ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿರಲಿ. ಈಗ x₁, x₂,..........., x_n ಗಳ, u₁, u₂,..........., u_n ಗಳ ಕುರಿತಾದ ಯಾಕೋಬೀಯ ನಿರ್ಧಾರಕವನ್ನು

$J=\frac{\partial (x_1,x_2,\cdots ,x_n)}{\partial (u_1,u_2,\cdots ,u_n)}=\left|\begin{array}{cccc}\frac{\partial x_1}{\partial u_1}& \frac{\partial x_1}{\partial u_2}& \cdots & \frac{\partial x_1}{\partial u_n}\\ \frac{\partial x_2}{\partial u_1}& \frac{\partial x_2}{\partial u_2}& \cdots & \frac{\partial x_2}{\partial u_n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ \frac{\partial x_n}{\partial u_1}& \frac{\partial x_n}{\partial u_2}& \cdots & \frac{\partial x_n}{\partial u_n}\end{array}\right|$

ಇಲ್ಲಿ $\begin{array}{c}{x}_1=x_1(u_1,u_2,\cdots ,u_n)\\ x_2=x_2(u_1,u_2,\cdots ,u_n)\\ ⋮\\ x_n=x_n(u_1,u_2,\cdots ,u_n)\end{array}$  

ಈ ಸಮೀಕರಣಗಳಿಂದ u₁, u₂,..........., u_n ಗಳನ್ನು x₁, x₂,..........., x_n ಗಳ ಮೂಲಕ ನಿರೂಪಿಸುವುದಕ್ಕೆ ಬೇಕಾದ ಮತ್ತು ಸಾಕಾದ ನಿರ್ಬಂಧ ಎಂದರೆ J ≠ 0. ಹೀಗಾಗಿ ಒಂದು ನಿರ್ದೇಶಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯಿಂದ ಮತ್ತೊಂದು ನಿರ್ದೇಶಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಗೆ ಪರಿವರ್ತಿಸುವ ಕ್ರಿಯೆಯಲ್ಲಿ ಯಾಕೋಬೀಯನ್‌ಗಳು ಮುಖ್ಯಪಾತ್ರವಹಿಸುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಈಗ u₁, u₂,..........., u_n ಗಳಲ್ಲಿ $\partial u_1,\partial u_2,\cdots ,\partial u_n$ ಗಳಷ್ಟು ಸಣ್ಣ ಬದಲಾವಣೆಮಾಡಿದಾಗ x₁, x₂,..........., x_n ಗಳಲ್ಲಿ ಉಂಟಾಗುವ ಬದಲಾವಣೆಗಳು $\partial x_1,\partial x_2,\cdots ,\partial x_n$ ಆದಾಗ, $\partial x_1,\partial x_2,\cdots ,\partial x_n=J\partial u_1,\partial u_2,\cdots ,\partial u_n$ ಎಂದಾಗುವುದು.

3. ಹಾಮಿಲ್ಟನ್-ಯಾಕೋಬೀ ಸಮೀಕರಣ: ದತ್ತ ಗತಿವಿಜ್ಞಾನ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಲಾಗ್ರಾಂಜಿಯನ್ L ಆಗಿಯೂ ಅದರ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟೋನಿಯನ್ H ಆಗಿಯೂ ಇರಲಿ. ಇಲ್ಲಿ $S=\underset{P_0}{\overset{P}{\int }}L.dt$ ಎಂಬುದು ಈ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯ ಗರಿಷ್ಠ ಸಮಾಸಕಲನಾಂಕ ಆದರೆ, S ಎಂಬುದು ಆಂಶಿಕಕಲನ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತದೆ. ಗತಿವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಪ್ರಮುಖ ನಿರ್ವಹಣೆ ವಹಿಸುವ ಈ ಸಮೀಕರಣವೇ ಸುಪ್ರಸಿದ್ಧ ಹ್ಯಾಮಿಲ್ಟನ್-ಯಾಕೋಬೀ ಸಮೀಕರಣ.ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Rp

4. ಯಾಕೋಬೀಯ ನಿತ್ಯಸಮೀಕರಣ: f₁ ಮತ್ತು f₂ ಗಳು 2n ಚರಗಳಾದ x₁, x₂,..........., x_n ಮತ್ತು y₁, y₂,..........., y_n ಗಳ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿರಲಿ; ಮತ್ತು ಇವುಗಳ ಒಂದನೆಯ ದರ್ಜೆ ಆಂಶಿಕ ಅವಕಲನಾಂಕಗಳು ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರಲಿ. (f₁, f₂) ಅವಕಲಪ್ರತೀಕವನ್ನು

$(f_1,f_2)=\sum _{p=1}^n(\frac{\partial f_1}{\partial x_p}\frac{\partial f_2}{\partial y_p}-\frac{\partial f_1}{\partial y_p}\frac{\partial f_2}{\partial x_p})$

ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸೋಣ. ಇದಕ್ಕೆ f₁ ಮತ್ತು f₂ ಗಳ ಪ್ವಾಸ್ವಾನ್ ಆವರಣ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಈ ಆವರಣಗಳು (f₁, (f₂, f₃)) + (f₂, (f₃, f₁)) + (f₃, (f₁, f₂)) = 0 ಎಂಬ ಸಮೀಕರಣದಲ್ಲಿ ನಿಲ್ಲುತ್ತವೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಯಾಕೋಬೀಯ ನಿತ್ಯಸಮೀಕರಣ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಈ ಬಗೆಯ ಪರಿಸ್ಥಿತಿ ಪರ್ಯಾಯ ಬೀಜಗಣಿತ ಮುಂತಾದ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಕಟಣೆಗಳು

• ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Citation
• ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Citation
• ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Citation
• ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Cite journal
• ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Citation
• ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Citation
• ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Citation
• ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Citation
• ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Citation

ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು

• Jacobi's Vorlesungen über Dynamik
• ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:MacTutor Biography
• ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Cite Americana
• ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Cite NIE
• ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Cite AmCyc
• Carl Gustav Jacob Jacobi - Œuvres complètes Gallica-Math