ಯಾಕೋಬೀಯನ್

ಯಾಕೋಬೀಯನ್ ಎನ್ನುವುದು ಒಂದು ಗಣಿತೋತ್ಪನ್ನ. n ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಗಣವೊಂದರ ಉತ್ಪನ್ನ. ಇಲ್ಲಿ n ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕ (positive integer). ಇದರ ಮೌಲ್ಯ x ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಒಂದು ನಿರ್ಧಾರಕವಾಗಿರುತ್ತದೆ (ಡಿಟರ್‌ಮಿನೆಂಟ್). ಈ ನಿರ್ಧಾರಕದ ಸಾಲುಗಳು, x ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಮೌಲ್ಯಮಾಪಿತಗೊಂಡಿದ್ದು, ಪ್ರತಿಯೊಂದೂ ಉತ್ಪನ್ನದ n ಆಂಶಿಕವ್ಯುತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಜರ್ಮನಿಯ ಗಣಿತವಿದ ಕಾರ್ಲ್ ಗುಸ್ಟಾವ್ ಜೇಕಬ್ ಯಾಕೋಬೀ (1804-1851) ಗೌರವಾರ್ಥ ಈ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಯಾಕೋಬೀಯನ್ ಎಂದು ಕರೆಯುವುದಿದೆ.

ಗಣಿತೀಯವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸುವುದಾದರೆ, f_i(x₁, x₂, ........... , x_n), i = 1, 2, ............. , n ಎಂಬುದು n ಉತ್ಪನ್ನಗಳಾಗಿರಲಿ. ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಯಾಕೋಬೀಯನನ್ನು

$\left|\begin{array}{ccccc}\frac{\partial f_1}{\partial x_1}& \frac{\partial f_1}{\partial x_2}& \frac{\partial f_1}{\partial x_3}& \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}\\ \frac{\partial f_2}{\partial x_1}& \frac{\partial f_2}{\partial x_2}& \frac{\partial f_2}{\partial x_3}& \cdots & \frac{\partial f_2}{\partial x_n}\\ ⋮& \cdots & \cdots & \ddots & ⋮\\ \frac{\partial f_n}{\partial x_1}& \frac{\partial f_n}{\partial x_2}& \frac{\partial f_n}{\partial x_3}& \cdots & \frac{\partial f_n}{\partial x_n}\end{array}\right|$

ಎಂಬ ನಿರ್ಧಾರಕದಿಂದ ನಮೂದಿಸಲಾಗುವುದು. ಇದನ್ನು

$\frac{D(f_1,f_2,f_3,\cdots ,f_n)}{D(x_1,x_2,x_3,\cdots ,x_n)}$

ಎಂದಾಗಲಿ ಇಲ್ಲವೆ

$\frac{\partial (f_1,f_2,f_3,\cdots ,f_n)}{\partial (x_1,x_2,x_3,\cdots ,x_n)}$

ಎಂದಾಗಲಿ ಬರೆಯುವುದಿದೆ.

ಎರಡು ಉತ್ಪನ್ನಗಳಿಗೆ ಅಂದರೆ, f(x, y) ಮತ್ತು g(x, y) ಗಳಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದಂತೆ ನಿರ್ಧಾರಕ

$\left|\begin{array}{cc}\frac{\partial f}{\partial x}& \frac{\partial f}{\partial y}\\ \frac{\partial g}{\partial x}& \frac{\partial g}{\partial y}\end{array}\right|$

ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ. ಇದೇ ಈ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಯಾಕೋಬೀಯನ್. ಇದನ್ನು

$\frac{D(f,g)}{D(x,y)}$

ಎಂದೂ ಬರೆಯುವುದಿದೆ.

ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು

• ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Springer
• Mathworld A more technical explanation of Jacobians