ಮೋಬಿಯಸ್ ಉತ್ಪನ್ನ

ಮೋಬಿಯಸ್ ಉತ್ಪನ್ನವು ಒಂದು ಅಂಕೋತ್ಪನ್ನ. ಈ ಅಂಕೋತ್ಪನ್ನ (ಅರಿತ್‌ಮೆಟಿಕಲ್ ಫಂಕ್ಷನ್) ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Math ಎಂಬುದು ಅಂಕಗಣಿತಕ್ಕೆ ಮೋಬಿಯಸ್ ನೀಡಿದ ಉತ್ತಮ ಕೊಡುಗೆ.ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Sfn ಇಲ್ಲಿ x = ಚರ. ಇದು ಒಂದು ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ. ಎಂದರೆ ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Math ಎಂಬುದು ಎಲ್ಲ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣವಾದರೆ, x ಇದರಲ್ಲಿ ಯಾವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದರೂ ಆಗಿರಬಹುದು. ಅರ್ಥಾತ್ ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Math ಉತ್ಪನ್ನದ ಪ್ರಾಂತ್ಯ (domain) N ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ.

N ಪ್ರಾಂತ್ಯವಾಗಿರುವ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಅಂಕೋತ್ಪನ್ನ ಎಂದು ಕರೆಯುವುದಿದೆ. ಈಗ $x>1$ ಆಗಿದ್ದು ಅದು ಯಾವ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯೇ ಆಗಲಿ, ಅದನ್ನು ಕೆಲವು ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿ ಅನುವರ್ತಿಸುವುದು. ಇಂಥ ಅಪವರ್ತನವು (factor) ಏಕೈಕ ಮಾತ್ರ. ಇದರಲ್ಲಿ ಕೆಲವು ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳು (ಪ್ರೈಮ್ಸ್) ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಸಲ ಬಂದಿರಬಹುದು.

ಉದಾಹರಣೆ (1): 12 = 2 x 2 x 3. ಇಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯ 2. ಇದು ಎರಡು ಬಾರಿ ಬಂದಿದೆ.

ಉದಾಹರಣೆ (2): 15 = 3 x 5. ಇದು ಎರಡು ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನವಾದ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಾದ 3 ಮತ್ತು 5 ರ ಗುಣಲಬ್ಧ.

ಮೋಬಿಯಸ್ ಉತ್ಪನ್ನದ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನ

ಈ ಹಿನ್ನೆಲೆಯಲ್ಲಿ ಮೋಬಿಯಸ್ ಉತ್ಪನ್ನ ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Math ವನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ:

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ 1: ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Math ಮತ್ತು $x>1,xϵN$ಆದಾಗ x ಎಂಬುದು n ಪರಸ್ಪರ ಭಿನ್ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧವಾಗಿದ್ದರೆ $\mu (x)=(-1{)}^n$ ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ. ಹಾಗಲ್ಲದೆ x ನ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನೀಕರಣದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಅವಿಭಾಜ್ಯ ಅಪವರ್ತನ ಒಂದಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚುಸಲ ಪುನರಾವರ್ತಿಸಿದ್ದರೆ, $\mu (x)=0$ ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಾನಿಸಲಾಗುವುದು.

ಉದಾಹರಣೆ (1): $\mu (12)=0$ ಮತ್ತು $\mu (15)=(-1{)}^2=1$

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ 2: $\xi$ ಯಾವುದೇ ನೈಜಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರಲಿ. ಈಗ $n\le \xi <(n+1)$ ಆಗುವಂಥ ಕನಿಷ್ಠತಮ ಪೂರ್ಣಾಂಕ (whole number) n ಏಕೈಕವಾಗಿ ಅಸ್ತಿತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತದೆ. ಈ n ನನ್ನು $\xi$ ನ ಪೂರ್ಣಭಾಗ ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು $n=[\xi ]$ ಎಂದು ಸಾಂಕೇತಿಕವಾಗಿ ಬರೆಯಲಾಗುವುದು.

ಪ್ರಮೇಯಗಳು

ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಗಳ ಹಿನ್ನೆಲೆಯಲ್ಲಿ ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Math ಉತ್ಪನ್ನದ ಕೆಲವು ಮುಖ್ಯ ಗುಣ ವಿಶೇಷಗಳನ್ನು ಮುಂದಿನ ಪ್ರಮೇಯಗಳಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 1: a ಯಾವುದೇ ನೈಸರ್ಗಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದರೂ

$\sum _{d\mid a}\mu (d)=\{\begin{array}{cc}1& \text{if }a=1,\\ 0& \text{if }a>1.\end{array}$ ಆದಾಗ

ಇಲ್ಲಿ d ಯು a ಯ ಅಪವರ್ತನಗಳನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. Σ ಎಂಬ ಪ್ರತೀಕವಾದರೊ Σ ಸಂಕಲನ a ಯ ಎಲ್ಲ ಅಪವರ್ತನ d ಗಳ ಮೇಲೆ ಸಾಗಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿಸುತ್ತದೆ.

ಪ್ರಮೇಯ 2: $[\xi ]$; $\sum \mu (j)[\xi /j]=1$; j=1

ಪ್ರಮೇಯ 3: m > 1 ಆದರೆ, $\left|\sum _{n=1}^m\frac{\mu (n)}{n}\right|\le 1$

ಪ್ರಮೇಯ 4: P ಯಾವುದೇ ಅಂಕೋತ್ಪನವಾದರೂ $G(a)=\sum _{d\mid a}F(d)$ ಆಗಿದ್ದರೆ, ಇದರ ವಿಲೋಮ ಸಂಬಂಧ $F(a)=\sum _{d\mid a}\mu (d)G\left(\frac{a}{d}\right)$ಪರಿಪಾಲಿತವಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾದ ಮೋಬಿಯಸ್ ವಿಲೋಮಸೂತ್ರ.

ಮೂಲಗಳು

• ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Citation
• ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Citation
• ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Citation

ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು

• ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Mathworld