ಮಾಯಾಚೌಕ

ಮಾಯಾಚೌಕ ಎಂದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನೀಟಸಾಲು (ಕಾಲಮ್), ಅಡ್ಡಸಾಲು (ರೋ) ಮತ್ತು ಕರ್ಣ (ಡಯಗೋನಲ್) ಇವುಗಳಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಸಮವಾಗುವಂತೆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಅಳವಡಿಸಿರುವ ಚದುರಂಗದ ಮಣೆ ಹೋಲುವ ಚೌಕಾಕೃತಿ (ಮ್ಯಾಜಿಕ್ ಸ್ಕ್ವಯರ್). ಭದ್ರವರ್ಗ ಪರ್ಯಾಯನಾಮ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಇಂಥ ಆಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ 1 ರಿಂದ ಮೊದಲಾಗಿ ಕ್ರಮಾಗತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿರುತ್ತವೆ.  ಕ್ರಮಾಗತಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೆ ಬದಲಾಗಿ ಸಮಾಂತರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು (ಅರಿತ್ಮೆಟಿಕ್ ಪ್ರೋಗ್ರೆಶನ್) ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಮಾಯಾಚೌಕಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು.

ಚಿತ್ರ ೧

15	10	3	6
4	5	16	9
14	11	2	7
1	8	13	12

ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವ ಮಾಯಾಚೌಕದಲ್ಲಿ 1 ರಿಂದ 16 ರವರೆಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿವೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿಯೂ ಕರ್ಣದಲ್ಲಿಯೂ ಇರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ 34. ಈ ಆಕೃತಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲೂ 4 ಮನೆಗಳಿರುವುದರಿಂದ ಇದು 4 ನೆಯ ದರ್ಜೆಯ (ಆರ್ಡರ್) ಮಾಯಾ ಚೌಕ. n ದರ್ಜೆಯ ಮಾಯಾಚೌಕದಲ್ಲಿ 1 ರಿಂದ n² ವರೆಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿದರೆ ಪ್ರತಿಸಾಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ $\frac{n(n^2+1)}{2}$ ಆಗುವುದು.

ಇತಿಹಾಸ

ಎರಡು ಸಾವಿರ ವರ್ಷಗಳಿಗಿಂತ ಹಿಂದೆಯೇ ಭಾರತದಲ್ಲಿಯೂ ಚೀನದಲ್ಲಿಯೂ ಮಾಯಾಚೌಕಗಳು ಪ್ರಚಾರದಲ್ಲಿದ್ದುವು. ಎಲ್ಲಿ ಇವನ್ನು ಮೊದಲು ಕಂಡುಹಿಡಿದರೆಂದು ಖಚಿತವಾಗಿ ಹೇಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಕ್ರಿ.ಪೂ. ಸು.2200 ರಲ್ಲಿ ಯೂ ಎಂಬ ಚೀನ ಚಕ್ರವರ್ತಿಯ ಕಾಲದಲ್ಲಿ 3 ನೆಯ ದರ್ಜೆಯ ಮಾಯಾಚೌಕಗಳನ್ನು ತಗಡು ಅಥವಾ ಕಲ್ಲಿನಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಿ ರಕ್ಷೆಗಳಾಗಿ ಉಪಯೋಗಿಸುತ್ತಿದ್ದರಂತೆ. ಇಂಥ ಚೌಕಗಳು ಈಗಲೂ ಸೀತಾಚಕ್ರ ಎಂಬ ಹೆಸರಿನಲ್ಲಿ ಭಾರತದ ಕೆಲವು ಪಂಚಾಂಗಗಳಲ್ಲಿ ಕಂಡುಬರುತ್ತಿವೆ. ಕ್ರಿ.ಶ. 5 ನೆಯ ಶತಮಾನದಲ್ಲಿ ಆರ್ಯಭಟ ಮಾಯಾಚೌಕಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಬರೆದಿದ್ದಾನೆ. ಝಾನ್ಸಿಯ ಸಮೀಪದಲ್ಲಿರುವ ದುಧಾಯಿಯ (ಕ್ರಿ.ಶ. ಸು. 11 ನೆಯ ಶತಮಾನ) ಭಗ್ನಾವಶಿಷ್ಟ ದೇವಾಲಯ ಕಲ್ಲೊಂದರ ಮೇಲೆ ಒಂದು ಮಾಯಾಚೌಕವಿತ್ತು. ಗ್ವಾಲಿಯರ್ ಕೋಟೆಯ ಬಾಗಿಲಿನ ಮೇಲೆ ದೇವನಾಗರೀ ಲಿಪಿಯಲ್ಲಿ ಕೆತ್ತಿರುವ ಒಂದು ಮಾಯಾಚೌಕವಿದೆ. ಈ ಆಕೃತಿಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವ ಕಲೆಗೆ ಭದ್ರಗಣಿತವೆಂದು (ಮಾಯಾಚೌಕ ಗಣಿತ) ಹೆಸರು.

ಅರೇಬಿಯದ ತಾಬೀತ್ ಇಬ್ನ್ ಕೋರಾ (836-901) ಎಂಬ ಗ್ರಂಥಕಾರ ಮಾಯಾಚೌಕಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಪ್ರಸ್ತಾವಿಸಿದ್ದಾನೆ. ಯೂರೊಪಿನಲ್ಲಿ ಮಾಯಾಚೌಕಗಳನ್ನು ಕುರಿತು ಮೊದಲು (ಸುಮಾರು 1300 ರಲ್ಲಿ) ಬರೆದಾತ ಕಾನ್‌ಸ್ಟಾಂಟಿನೋಪಲಿನ ಮ್ಯಾನುಯಲ್ ಮಾಸ್ಕೊಪೌಲಸ್. ಆಗ 3 ರಿಂದ 9 ದರ್ಜೆಯವರೆಗಿನ ಮಾಯಾಚೌಕಗಳು ಅನುಕ್ರಮವಾಗಿ ಶನಿ, ಗುರು, ಕುಜ, ಸೂರ್ಯ, ಶುಕ್ರ, ಬುಧ, ಚಂದ್ರರಿಗೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿವೆ ಎಂಬ ಭಾವನೆಯಿತ್ತು.

ಮಾಯಾಚೌಕಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವ ಕ್ರಮಗಳು

ಅಂಚುಕಟ್ಟುವ ಕ್ರಮ

ಮಾಯಾಚೌಕಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವ ಅನೇಕ ಕ್ರಮಗಳಲ್ಲಿ ಅಂಚುಕಟ್ಟುವ ಕ್ರಮ (ಬಾರ್ಡರಿಂಗ್ ಮೆಥಡ್) ಒಂದು. ಇದರಲ್ಲಿ ರಚಿಸಿದ ಆಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಹೊರಸುತ್ತಿನ ಮನೆಗಳನ್ನು ಒಂದೊಂದು ಸುತ್ತಾಗಿ ಕಳಚುತ್ತ ಹೋದರೆ ಪ್ರತಿಸಲವೂ ಉಳಿಯುವ ಆಕೃತಿಗಳೆಲ್ಲ ಮಾಯಾಚೌಕಗಳೇ. ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವುದು ಇಂಥ ಒಂದು ಆಕೃತಿ.

ಚಿತ್ರ ೨

೨೫	೨೪	೭	೬	೩
೪	೧೬	೯	೧೪	೨೨
೫	೧೧	೧೩	೧೫	೨೧
೮	೧೨	೧೭	೧೦	೧೮
೨೩	೨	೧೯	೨೦	೧

ವಿಷಮ (ಆಡ್), ವಿಷಮದ್ವಿಗುಣ (4ರಿಂದ ಭಾಗವಾಗದ ಸರಿಸಂಖ್ಯೆ.  ಸಿಂಗ್ಲಿ ಈವನ್, 2, 6,10,14....) ಮತ್ತು ಸಮದ್ವಿಗುಣ (4 ರಿಂದ ಭಾಗವಾಗುವ ಸರಿ ಸಂಖ್ಯೆ, ಡಬ್ಲಿ ಈವನ್, 4, 8, 12, 16.......) ದರ್ಜೆಗಳ ಮಾಯಾ ಚೌಕಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಕ್ರಮಗಳಿವೆ.  ಎಲ್ಲ ದರ್ಜೆಗಳ ಆಕೃತಿಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ವಿಧಾನವಿನ್ನೂ ಲಭ್ಯವಿಲ್ಲ.

ವಿಷಮ ದರ್ಜೆಯ ಮಾಯಾಚೌಕಗಳನ್ನು ರಚಿಸುವ ಒಂದು ಕ್ರಮ

ಈ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನೂ ಅದರ ಹಿಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮೇಲಿನ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಬಲಗಡೆಯ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಬರೆಯುತ್ತ ಹೋಗಬೇಕು. ಮೇಲಕ್ಕೆ ಸಾಲಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ತೀರ ಕೆಳಗಿನ ಸಾಲಿನಲ್ಲೂ ಬಲಗಡೆಗೆ ಸ್ಥಾನವಿಲ್ಲದಿದ್ದರೆ ಎಡಗಡ ಮೊದಲನೆಯ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲೂ ಬರೆಯಬೇಕು. ಬಲಗಡೆ ಮೇಲಿನ ಮೂಲೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆದ ಮೇಲೆ ಮುಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕೆಳಗೆ ಬರೆಯಬೇಕು. ಹೀಗೆಯೇ, ಮುಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆ ಬರೆಯಬೇಕಾದ ಮನೆ ಆಗಲೇ ಭರ್ತಿಯಾಗಿದ್ದಾಗಲೂ ಕೆಳಗೆ ಬರೆಯಬೇಕು. ಪ್ರಾರಂಭ ಮಾಡುವಾಗ 1ನ್ನು ಮೇಲಿನ ಸಾಲಿನ ಮಧ್ಯದ ಮನೆಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಬೇಕು. ಈ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ರಚಿಸಿದ 5ನೆಯ ದರ್ಜೆಯ ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಕೆಳಗಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿದೆ.

೩ (ಎ)

		೧
	೫
೪
				೩
			೨

೩ (ಬಿ)

		೧	೮
	೫	೭
೪	೬
೧೦				೩
			೨	೯

೩ (ಸಿ)

		೧	೮	೧೫
	೫	೭	೧೪
೪	೬	೧೩
೧೦	೧೨			೩
೧೧			೨	೯

೩ (ಡಿ)

೧೭	೨೪	೧	೮	೧೫
೨೩	೫	೭	೧೪	೧೬
೪	೬	೧೩	೨೦	೨೨
೧೦	೧೨	೧೯	೨೧	೩
೧೧	೧೮	೨೫	೨	೯

ಸಮದ್ವಿಗುಣ ದರ್ಜೆಯ ಮಾಯಾಚೌಕವನ್ನು ರಚಿಸುವ ಒಂದು ಕ್ರಮ

ಮೊದಲು ಎರಡು ಕರ್ಣಗಳಲ್ಲೂ ಇರುವ ಮನೆಗಳಲ್ಲಿ ಸಣ್ಣ ಚುಕ್ಕೆಗಳನ್ನು ಹಾಕಬೇಕು. ಅನಂತರ ದಪ್ಪ ಗೆರೆಗಳನ್ನೆಳೆದು ಆಕೃತಿಯನ್ನು 4 ಸಮಭಾಗ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಭಾಗದಲ್ಲೂ (ಚದುರಂಗದ ಮಣೆಯಲ್ಲಿ ಬಣ್ಣ ಹಾಕಿರುವಂತೆ) ಒಂದು ಮನೆ ಬಿಟ್ಟು ಇನ್ನೊಂದರಂತೆ ಚುಕ್ಕಿಗಳನ್ನು ಹಾಕಬೇಕು. ಈಗ ಮೇಲಿನ ಸಾಲಿನ ಮೊದಲನೆಯ ಮನೆಯಲ್ಲಿ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ 1 ರಿಂದ ಕ್ರಮವಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಎಣಿಸುತ್ತ ಚುಕ್ಕಿ ಇರುವ ಮನೆಗಳಲ್ಲಿ ಅದರದರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆಯಬೇಕು. ಚುಕ್ಕಿ ಇಲ್ಲದ ಮನೆಯಲ್ಲಿ ಬರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬಿಡಬೇಕು. ತರುವಾಯ ತೀರ ಕೆಳಗಿನ ಸಾಲಿನ ಕೊನೆಯ ಮನೆಯಿಂದ ಎಡಕ್ಕೆ ಎಣಿಸುತ್ತ ಖಾಲಿ ಇರುವ ಮನೆಗಳಿಗೆ ಬರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಬರೆದರೆ ಭದ್ರವರ್ಗ ಪೂರ್ಣವಾಗುವುದು. ಚಿತ್ರ ೪ ರಲ್ಲಿ ಉದಾಹರಣೆಯನ್ನು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.

೪ (ಎ)

*		*			*		*
	*		*	*		*
*		*			*		*
	*		*	*		*
	*		*	*		*
*		*			*		*
	*		*	*		*
*		*			*		*

೪ (ಬಿ)

೧		೩			೬		೮
	೧೦		೧೨	೧೩		೧೫
೧೭		೧೯			೨೨		೨೪
	೨೬		೨೮	೨೯		೩೧
	೩೪		೩೬	೩೭		೩೯
೪೧		೪೩			೪೬		೪೮
	೫೦		೫೨	೫೩		೫೫
೫೭		೫೯			೬೨		೬೪

೪ (ಸಿ)

೧	೬೩	೩	೬೧	೬೦	೬	೫೮	೮
೫೬	೧೦	೫೪	೧೨	೧೩	೫೧	೧೫	೪೯
೧೭	೪೭	೧೯	೪೫	೪೪	೨೨	೪೨	೨೪
೪೦	೨೬	೩೮	೨೮	೨೯	೩೫	೩೧	೩೩
೩೨	೩೪	೩೦	೩೬	೩೭	೨೭	೩೯	೨೫
೪೧	೨೩	೪೩	೨೧	೨೦	೪೬	೧೮	೪೮
೧೬	೫೦	೧೪	೫೨	೫೩	೧೧	೫೫	೯
೫೭	೭	೫೯	೫	೪	೬೨	೨	೬೪

ವಿಷಮ ದ್ವಿಗುಣ ದರ್ಜೆಯ ಮಾಯಾಚೌಕವನ್ನು ರಚಿಸುವ ಒಂದು ಕ್ರಮ

ಮೊದಲು ದಪ್ಪ ಗೆರೆಗಳನ್ನೆಳೆದು ಆಕೃತಿಯನ್ನು 4 ಸಮಭಾಗ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು; ಅನಂತರ ಎಡಪಕ್ಕದ ಮೇಲಿನ ಭಾಗದಲ್ಲಿ 1 ರಿಂದ ಮೊದಲಾಗುವ ಕ್ರಮಾಗತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ ವಿಷಮದರ್ಜೆಯ ಚೌಕವನ್ನು ಈ ಹಿಂದೆ ಹೇಳಿರುವ ಕ್ರಮದಲ್ಲಿ ರಚಿಸಬೇಕು. ಇದರಲ್ಲಿಯ ಕೊನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಮುಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಬಲಪಕ್ಕದ ಮೇಲ್ಭಾಗದಲ್ಲೂ, ಕೊನೆಯದಾಗಿ ಎಡಪಕ್ಕದ ಕೆಳಭಾಗದಲ್ಲೂ ಚೌಕಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬೇಕು. ಈ ಮಾಯಾಚೌಕಗಳನ್ನು 1ನೆಯ, 2ನೆಯ, 3ನೆಯ ಮತ್ತು 4ನೆಯ ಚೌಕಗಳೆಂದು ಕರೆಯೋಣ. ಇಲ್ಲಿ ಎಡಪಕ್ಕದ ಮೇಲಿನ ಚೌಕವನ್ನು 1 ರಿಂದ 25 ರವರೆಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದಲೂ ಉಳಿದ ಮೂರು ಚೌಕಗಳನ್ನು ಕ್ರಮವಾಗಿ 6 ರಿಂದ 50, 51 ರಿಂದ 75 ಮತ್ತು 76 ರಿಂದ 100 ವರೆಗಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದಲೂ ರಚಿಸಿದೆ. ಅನಂತರ 1ನೆಯ ಚೌಕದ ಮಧ್ಯದ ಸಂಖ್ಯೆಯವರೆಗಿನವನ್ನೂ ಉಳಿದ ಅಡ್ಡ ಸಾಲುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ತೊಡಗಿ ಮಧ್ಯದ ಹಿಂದಿನ ಸಂಖ್ಯೆಯವರೆಗಿನವನ್ನೂ ಗುರುತಿಸಬೇಕು. ಇದಾದ ಬಳಿಕ 3ನೆಯ ಚೌಕದ ಪ್ರತಿ ಅಡ್ಡ ಸಾಲಿನಲ್ಲೂ ಕೊನೆಯಿಂದ ತೊಡಗಿ ಮೊದಲಿನ ಚೌಕದ ಪ್ರತಿಸಾಲಿನಲ್ಲೂ ಎಷ್ಟು ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿದೆಯೋ ಅದಕ್ಕಿಂತ 1 ಕಡಿಮೆಯಾಗಿ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿಕೊಳ್ಳಬೇಕು (ಪ್ರಸಕ್ತ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ 1ನೆಯ ಚೌಕದಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಡ್ಡ ಸಾಲಿನಲ್ಲೂ 2 ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿರುವುದರಿಂದ 3ನೆಯ ಚೌಕದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲೂ ಕೊನೆಯಿಂದ 1 ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಮಾತ್ರ ಗುರುತಿಸಿದೆ). 1ನೆಯ ಚೌಕದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು 4ನೆಯ ಚೌಕದಲ್ಲಿಯ ಸಂವಾದಿ ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಡನೆ ಮತ್ತು 3ನೆಯ ಚೌಕದಲ್ಲಿ ಗುರುತಿಸಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು 2ನೆಯ ಚೌಕದಲ್ಲಿಯ ಸಂವಾದಿ ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೊಡನೆ ವಿನಿಮಯ ಮಾಡಿದರೆ ಪೂರ್ಣ ಆಕೃತಿ ಮಾಯಾಚೌಕ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ. ರಾಲ್ಫ್ ಸ್ಟ್ರಾಕೆ ಎಂಬಾತ ಈ ವಿಧಾನವನ್ನು ಶೋಧಿಸಿದ ಗಣಿತವಿದ. ಚಿತ್ರ ೫ ರಲ್ಲಿ ಉದಾಹರಣೆಯಿದೆ.

  I ವರ್ಗ             III ವರ್ಗ

೫ (ಎ)

೧೭	೨೪	೧	೮	೧೫	೬೭	೭೪	೫೧	೫೮	೬೫
೨೩	೫	೭	೧೪	೧೬	೭೩	೫೫	೫೭	೬೪	೬೬
೪	೬	೧೩	೨೦	೨೨	೫೪	೫೬	೬೩	೭೦	೭೨
೧೦	೧೨	೧೯	೨೧	೩	೬೦	೬೨	೬೯	೭೧	೫೩
೧೧	೧೮	೨೫	೨	೯	೬೧	೬೮	೭೫	೫೨	೫೯
೯೨	೯೯	೭೬	೮೩	೯೦	೪೨	೪೯	೨೬	೩೩	೪೦
೯೮	೮೦	೮೨	೮೯	೯೧	೪೮	೩೦	೩೨	೩೯	೪೧
೭೯	೮೧	೮೮	೯೫	೯೭	೨೯	೩೧	೩೮	೪೫	೪೭
೮೫	೮೭	೯೪	೯೬	೭೮	೩೫	೩೭	೪೪	೪೬	೨೮
೮೬	೯೩	೧೦೦	೭೭	೮೪	೩೬	೪೩	೫೦	೨೭	೩೪

      IV ವರ್ಗ           II ವರ್ಗ

೫ (ಬಿ)

೯೨	೯೯	೧	೮	೧೫	೬೭	೭೪	೫೧	೫೮	೪೦
೯೮	೮೦	೭	೧೪	೧೬	೭೩	೫೫	೫೭	೬೪	೪೧
೪	೮೧	೮೮	೨೦	೨೨	೫೪	೫೬	೬೩	೭೦	೪೭
೮೫	೮೭	೧೯	೨೧	೩	೬೦	೬೨	೬೯	೭೧	೨೮
೮೬	೯೩	೨೫	೨	೯	೬೧	೬೮	೭೫	೫೨	೩೪
೧೭	೨೪	೭೬	೮೩	೯೦	೪೨	೪೯	೨೬	೩೩	೬೫
೨೩	೫	೮೨	೮೯	೯೧	೪೮	೩೦	೩೨	೩೯	೬೬
೭೯	೬	೧೩	೯೫	೯೭	೨೯	೩೧	೩೮	೪೫	೭೨
೧೦	೧೨	೯೪	೯೬	೭೮	೩೫	೩೭	೪೪	೪೬	೫೩
೧೧	೧೮	೧೦೦	೭೭	೮೪	೩೬	೪೩	೫೦	೨೭	೫೯

ಮಾಯಾಚೌಕಗಳ ವರ್ಗೀಕರಣ

• ಕೆಲವು ಮಾಯಾಚೌಕಗಳಲ್ಲಿ ಕರ್ಣದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತದಂತೆ ಭಿನ್ನಕರ್ಣಗಳ (ಬ್ರೋಕನ್ ಡಯಾಗೊನಲ್ಸ್) ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತಗಳೂ ಸಮವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಚಿತ್ರ 1 ರಲ್ಲಿಯ ಭಿನ್ನ ಕರ್ಣಗಳಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತಗಳಿವೆ:

10+16+7+1=3+9+14+8=6+4+11+13=8+2+9+15=13+7+4+10=12+14+5+3=34

ಇಂಥ ಮಾಯಾಚೌಕಗಳಿಗೆ ಸರ್ವಕರ್ಣೀಯ (ಪಾನ್‌ಡಯಾಗೊನಲ್) ಮಾಯಾ ಚೌಕಗಳೆಂದು ಹೆಸರು. ಮಹಾರಾಷ್ಟ್ರದ ನಾಸಿಕದಲ್ಲಿದ್ದ ಫ್ರಾಸ್ಟ್ ಎಂಬಾತ ಇಂಥ ಆಕೃತಿಗಳ ಬಗ್ಗೆ ಇಂಗ್ಲಿಷಿನಲ್ಲಿ ಮೊದಲು ಬರೆದದ್ದರಿಂದ ಇವನ್ನು ನಾಸಿಕ ಚೌಕಗಳೆಂದೇ ಕರೆಯುವುದುಂಟು. ಈ ಜಾತಿಯ ಮಾಯಾಚೌಕಗಳನ್ನು ಉದ್ದವಾಗಿ ಅಥವಾ ಅಡ್ಡವಾಗಿ ಯಾವ ಒಂದು ಗೆರೆಯನ್ನು ಅನುಸರಿಸಿ ಕತ್ತರಿಸಿ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಅದಲು ಬದಲು ಮಾಡಿದರೂ ಪುನಃ ಸರ್ವಕರ್ಣೀಯ ಮಾಯಾಚೌಕಗಳಾಗಿಯೇ ಉಳಿದಿರುತ್ತವೆ.

• ಮಾಯಾಚೌಕದ ಮಧ್ಯಬಿಂದುವಿಗೆ ವಿರುದ್ಧ ದಿಶೆಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದೇ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಮನೆಗಳೆರಡು ಪರಸ್ಪರ ವಿರುದ್ಧ ಸ್ಥಾನಗಳು.  ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಮೇಲಿನಿಂದ ಮೂರನೆಯ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿಯ ಮೊದಲಿನಿಂದ 2ನೆಯ ಮನೆಗೆ ವಿರುದ್ಧ ಸ್ಥಾನಗಳಲ್ಲಿರುವ ಎರಡು ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ ಒಂದೇ ಸಮವಾಗಿರುವ (n ದರ್ಜೆಯ ಚೌಕದಲ್ಲಿ n² + 1) ಮಾಯಾಚೌಕಗಳಿಗೆ ಸಮಮಿತಿ (ಸಿಮೆಟ್ರಿಕಲ್) ಮಾಯಾಚೌಕಗಳೆಂದು ಹೆಸರು. ಈ ಹಿಂದೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಕ್ರಮಗಳಲ್ಲಿ ರಚಿಸಿದ ವಿಷಮ ಮತ್ತು ಸಮದ್ವಿಗುಣ ದರ್ಜೆಗಳ ಮಾಯಾಚೌಕಗಳು (ಚಿತ್ರ 3, 6) ಸಮಮಿತಿ ಮಾಯಾಚೌಕಗಳು. ವಿಷಮ ದ್ವಿಗುಣ ದರ್ಜೆಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಾಗತ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಉಪಯೋಗಿಸಿ ಸರ್ವಕರ್ಣೀಯ ಅಥವಾ ಸಮಮಿತಿ ಮಾಯಾಚೌಕಗಳನ್ನು ರಚಿಸಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ.

ಚಿತ್ರ ೬

೩	೭೧	೫	೨೩
೫೩	೧೧	೩೭	೧
೧೭	೧೩	೪೧	೩೧
೨೯	೭	೧೯	೪೭

ಚಿತ್ರ ೭

೧೬೬೯	೧೯೯	೧೨೪೯
೬೧೯	೧೦೩೯	೧೪೫೯
೮೨೯	೧೮೭೯	೪೦೯

ಚಿತ್ರ ೮

೧೨೫	೧೧೮	೧೨೩
೧೨೦	೧೨೨	೧೨೪
೧೨೧	೧೨೬	೧೧೯

ಚಿತ್ರ ೯

೨	೧	೪
೩	೫	೭
೬	೯	೮

ಚಿತ್ರ ೧೦

೩	೧	೨
೯	೬	೪
೧೮	೩೬	೧೨

ಚಿತ್ರ ೧೧

೧೨	೯	೨
೧	೬	೩೬
೧೮	೪	೩

ಚಿತ್ರ ೧೨

೭	೫೩	೪೧	೨೭	೨	೫೨	೪೮	೩೦
೧೨	೫೮	೩೮	೨೪	೧೩	೬೩	೩೫	೧೭
೫೧	೧	೨೯	೪೭	೫೪	೮	೨೮	೪೨
೬೪	೧೪	೧೮	೩೬	೫೭	೧೧	೨೩	೩೭
೨೫	೪೩	೫೫	೫	೩೨	೪೬	೫೦	೪
೨೨	೪೦	೬೦	೧೦	೧೯	೩೩	೬೧	೧೫
೪೫	೩೧	೩	೪೯	೪೪	೨೬	೬	೫೬
೩೪	೨೦	೧೬	೬೨	೩೯	೨೧	೯	೫೯

ಯಾವುದೇ ಮಾಯಾಚೌಕವನ್ನಾಗಲೀ ತಿರುಗಿಸಿ ಅಥವಾ ಮಗುಚಿ, ಬೇರೆ ಬೇರೆಯಾಗಿ ಕಾಣುವ 8 ಮಾಯಾಚೌಕಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು.  ಆದರೆ ಮಾಯಾಚೌಕಗಳ ಎಣಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಇಂಥ 8 ಆಕೃತಿಗಳನ್ನೂ ಒಂದೇ ಮೂಲಾಕೃತಿಯೆಂದು ಪರಿಗಣಿಸುತ್ತೇವೆ.

3 ನೆಯ ದರ್ಜೆಯಲ್ಲಿರುವ ಮೂಲಾಕೃತಿ ಒಂದೇ. 4 ನೆಯ ದರ್ಜೆಯಲ್ಲಿ 880 ಮೂಲಾಕೃತಿಗಳಿವೆ. 5 ನೆಯ ದರ್ಜೆಯಲ್ಲಿ ಲಕ್ಷಕ್ಕೂ ಹೆಚ್ಚಾಗಿ ಮಾಯಾಚೌಕಗಳಿದ್ದು ಅವುಗಳಲ್ಲಿ 28,800 ನಾಸಿಕವರ್ಗಗಳೂ, 174,240 ಅಂಚು ಗಟ್ಟಿನ ಆಕೃತಿಗಳೂ ಇವೆಯೆಂದು ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ.

ಕೆಲವು ವಿಶಿಷ್ಟ ಜಾತಿಯ ಮಾಯಾಚೌಕಗಳು

ಚಿತ್ರ 6 ರಲ್ಲಿ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಂದಾದ ಮಾಯಾಚೌಕವನ್ನೂ, 7ರಲ್ಲಿ ಸಮಾಂತರ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿರುವ ಅವಿಭಾಜ್ಯಗಳಿಂದಾದ ಮಾಯಚೌಕವನ್ನೂ, 8 ರಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಾಗತ ವಿಭಾಜ್ಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಂದಾದ ಮಾಯಾಚೌಕವನ್ನೂ ಕಾಣಿಸಿದೆ.

ವ್ಯವಕಲನ ಮಾಯಾಚೌಕ

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಾಲು ಅಥವಾ ಕರ್ಣದಲ್ಲಿಯ ಮೊದಲನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಎರಡನೆಯದರಲ್ಲಿ ಕಳೆದು, ಬಂದ ಶೇಷವನ್ನು ನಾಲ್ಕನೆಯದರಲ್ಲಿ ಈ ರೀತಿ ಮುಂದುವರಿಯುತ್ತ ಹೋದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಾಲಿಗೂ ಒಂದೇ ಫಲ ಬರಬೇಕು. ಚಿತ್ರ 9 ರಲ್ಲಿ ಇಂಥ 3 ನೆಯ ದರ್ಜೆಯ ಮಾಯಾಚೌಕವಿದೆ. ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಾಲಿನ ಫಲ 5.

ಭಾಗಾಹಾರ ಮಾಯಾಚೌಕ

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಾಲು ಅಥವಾ ಕರ್ಣದಲ್ಲಿಯ ಮೊದಲನೆಯ ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಎರಡನೆಯದನ್ನು ಭಾಗಿಸುವುದು. ಬಂದ ಲಬ್ಧದಿಂದ ಮೂರನೆಯದನ್ನು ಭಾಗಿಸುವುದು. ಹೀಗೆ ಮುಂದುವರಿದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಾಲಿಗೂ ಒಂದೇ ಫಲ ಬರಬೇಕು. ಚಿತ್ರ 10 ರಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಾಲಿನ ಫಲ 6.

ಗುಣಾಕಾರ ಮಾಯಾಚೌಕ

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಾಲು ಅಥವಾ ಕರ್ಣದಲ್ಲಿರುವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗುಣಿಸಿದರೆ ಒಂದೇ ಫಲ ಬರಬೇಕು. ಚಿತ್ರ 11 ರಲ್ಲಿ ಫಲ 216.

ಇತರ ವಿಶೇಷ ಮಾಯಾಚೌಕಗಳು

ಕೆಲವು ಮಾಯಾಚೌಕಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸಂಖ್ಯೆಯ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿಯೂ ಅದರ ವರ್ಗವನ್ನು ಬರೆದರೂ ಮಾಯಾಚೌಕಗಳೇ ದೊರೆಯುತ್ತವೆ. 8 ನೆಯ ದರ್ಜೆಯ ಆಕೃತಿಯೊಂದನ್ನು ಚಿತ್ರ 12 ರಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿದೆ. ಇನ್ನೂ ಕಡಿಮೆ ದರ್ಜೆಯಲ್ಲಿ ಇದು ಸಾಧ್ಯವಾಗದು. ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಬದಲು ಅವುಗಳ ವರ್ಗಗಳನ್ನು ಬರೆದರೂ, ಅಥವಾ ಅವುಗಳ ಘನಗಳನ್ನು ಬರೆದರೂ ಮಾಯಾಚೌಕವೇ ಆಗುವಂತೆ 64 ನೆಯ ದರ್ಜೆಯ ಆಕೃತಿಯೊಂದನ್ನು ರಚಿಸಿರುವುದಾಗಿ ತಿಳಿದುಬಂದಿದೆ.

ಮಾಯಾಘನಗಳು (ಮ್ಯಾಜಿಕ್ ಕ್ಯೂಬ್ಸ್)

ಒಂದೊಂದು ಪದರದಲ್ಲಿಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅಡ್ಡಸಾಲಿನ ಮತ್ತು ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನೀಟ ಸಾಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವೂ ಮೇಲಿನ ಪದರದಿಂದ ಕೆಳಪದರಕ್ಕೆ ಹೋಗುವ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನೀಟಸಾಲಿನ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವೂ ಮೇಲಿನಪದರದ ಒಂದು ಮೂಲೆಯಿಂದ ಕೆಳಪದರದ ಎದುರು ಮೂಲೆಗೆ ಹೋಗುವ 4 ಕರ್ಣಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತವೂ ಸಮವಾಗುವಂತೆ ಮಾಯಾಘನಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. 3 ನೆಯ ದರ್ಜೆಯ ಒಂದು ಮಾಯಾಘನದ ಪದರಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರ 13 ರಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದೆ.

ಚಿತ್ರ ೧೩ - ಕೆಳಪದರ

೧೮	೨೩	೧
೨೨	೩	೧೭
೨	೧೬	೨೪

ಚಿತ್ರ ೧೩ - ನಡುಪದರ

೪	೧೨	೨೬
೧೧	೩೫	೬
೨೭	೫	೧೦

ಚಿತ್ರ ೧೩ - ಮೇಲುಪದರ

೨೦	೭	೧೫
೯	೧೪	೧೯
೧೩	೨೧	೮

ಚಿತ್ರ 14 ರಲ್ಲಿರುವುದು ಹೀತ್ ಎಂಬವರಿಂದ ರಚಿತವಾದ ಒಂದು ಅಪೂರ್ವ ಮಾಯಾಚೌಕ. ಇದರ ಯಾವುದೇ ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ ಅಥವಾ ಕರ್ಣದಲ್ಲಿರುವ 8 ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಪೈಕಿ ನಾಲ್ಕು ಪರ್ಯಾಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಮೊತ್ತ 130. ಆಕೃತಿಯನ್ನು ದಪ್ಪಗೆರೆಗಳಿರುವ ಕಡೆ ಕತ್ತರಿಸಿದರೆ ಆಗುವ ನಾಲ್ಕು ಭಾಗಗಳೂ ಮಾಯಾಚೌಕಗಳೇ. ಈ ಭಾಗಗಳನ್ನು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸಿರುವಂತೆ ಪದರಗಳಾಗಿ ಸೇರಿಸಿದರೆ 4ನೆಯ ದರ್ಜೆಯ ಮಾಯಾಚೌಕವಾಗುತ್ತದೆ.

ಒಂದನೆಯ ಪದರ    ಎರಡನೆಯ ಪದರ

ಚಿತ್ರ ೧೪

೧	೮	೬೧	೬೦	೪೮	೪೧	೨೦	೨೧
೬೨	೫೯	೨	೭	೧೯	೨೨	೪೭	೪೨
೫೨	೫೩	೧೬	೯	೨೯	೨೮	೩೩	೪೦
೧೫	೧೦	೫೧	೫೪	೩೪	೩೯	೩೦	೨೭
೩೨	೨೫	೩೬	೩೭	೪೯	೫೬	೧೩	೧೨
೩೫	೩೮	೩೧	೨೬	೧೪	೧೧	೫೦	೫೫
೪೫	೪೪	೧೭	೨೪	೪	೫	೬೪	೫೭
೧೮	೨೩	೪೬	೪೩	೬೩	೫೮	೩	೬

ನಾಲ್ಕನೆಯ ಪದರ   ಮೂರನೆಯ ಪದರ

ಉಲ್ಲೇಖಗಳು

• ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:MathWorld
• Magic Squares at Convergence

• John Lee Fults, Magic Squares. (La Salle, Illinois: Open Court, 1974).
• Cliff Pickover, The Zen of Magic Squares, Circles, and Stars (Princeton, New Jersey: Princeton University Press)
• Leonhard Euler, On magic squares
• Leonhard Euler, Investigations on new type of magic square
• William H. Benson and Oswald Jacoby, "New Recreations with Magic Squares". (New York: Dover, 1976).