ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು

ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಎಂದರೆ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಬರುವ J_n, J_-n ಎಂಬ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು. $\exp \left[\frac{1}{2}x(t-\frac{1}{t})\right]$ ಎಂಬ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು x ನ ಎಲ್ಲ ಬೆಲೆಗಳಿಗೂ t ಯ ಧನ ಮತ್ತು ಋಣ ಘಾತಗಳ ಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. n ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದರೆ ಈ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿ tⁿ ನ ಗುಣಕವನ್ನು J_n(x) ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುತ್ತೇವೆ. (-1) t^-n ಗುಣಕವೂ J_n(x) ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ

$\exp \left[\frac{1}{2}x(t-\frac{1}{t})\right]=J_0(x)+t{J}_1(x)+\cdots +t^n{J}_n(x)+\cdots$

$-t^{-1}{J}_1(x)+t^{-2}{J}_2(x)+\cdots +(-1{)}^n{t}^{-n}{J}_n(x)+\cdots$

n ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ (positive integer) ಅಥವಾ ಸೊನ್ನೆಯಾದರೆ

$J_n(x)=\frac{x_n}{2^{n}n!}\{1-\frac{x^2}{2^2.1(n+1)}+\frac{x^4}{2^4.1.2.(n+1)(n+2)}-\frac{\cdots }{\cdots }\}$

n ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿ n=1-m ಆದರೆ

$J_n(x)=\sum _{r=m}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^r{\left(\frac{1}{2}x\right)}^{2r-s}}{r!(r-m)!}$

$=\sum _{s=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{m+s}{\left(\frac{1}{2}x\right)}^{m+2s}}{(m+s)!s!}$...............(2)

ಇದರಿಂದಲೂ J_-m(x) = (-1)^mJ_m(x) ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ.

J_n ಮತ್ತು J_-m(x) ನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುವ ಶ್ರೇಣಿಗಳು x ನ ಎಲ್ಲ ಬೆಲೆಗಳಿಗೂ ಅಭಿಸರಣ (ಕನ್ವರ್ಜೆಂಟ್) ಆಗಿರುತ್ತವೆ. J_n ಮತ್ತು J_-m ಗಳನ್ನು ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಗುಣಕಗಳು (Bessel multipliers) ಎಂದು ಕರೆಯುವುದುಂಟು. ಇಲ್ಲಿ n, m ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು. ಆದರೆ ಬೇರೊಂದು ಪ್ರತೀಕ ಉಪಯೋಗಿಸುತ್ತ

$J_n(x)=\sum _{r=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^r}{\pi (n+r)\pi (r)}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{n+2s}$.............(3)

$J_{-n}(x)=\sum _{r=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^r}{\pi (-n+r)\pi (r)}{\left(\frac{x}{2}\right)}^{-n+2x}$..............(4)

ಎಂದೂ ಬರೆಯಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ π(n) ಎಂಬುದು ಗೌಸನ ಉತ್ಪನ್ನ. ಆಯಿಲರನ ಗ್ಯಾಮಾ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಲ್ಲಿ π(x) = Γ(x+1). ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಮೇಲಣ ಶ್ರೇಣಿಗಳನ್ನು J_n ಮತ್ತು J_-n ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ರೂಪಗಳೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ n ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಆಗಿರಬಹುದು, ಪೂರ್ಣಾಂಕವೇ ಆಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದ J_n ಮತ್ತು J_-n ಗಳೇ ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು.

ಈ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬೇರೊಂದು ವಿಧಾನದಿಂದ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಡಬಹುದು:

$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+\frac{1}{x}\frac{dy}{dx}+(1-\frac{n^2}{x^2})y=0$................(5)

ಎಂಬುದು ದ್ವಿತೀಯ ವರ್ಗದ (second order) ಒಂದು ಸರಳ ಅವಕಲ ಸಮೀಕರಣ. ಇದಕ್ಕೆ ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಸಮೀಕರಣ (Bessel's equation) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಸರಳ ಅವಕಲ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸುವ ವಿಧಾನ ಅನುಸರಿಸಿ, ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಸಮೀಕರಣ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ, n ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲದಾಗ

y = AJ_n(x) + BJ_-n(x)..............(6)

ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ A, B ಯಾವುವೇ ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು. ಈ ಪ್ರಕಾರ J_n ಮತ್ತು J_-n ಗಳ ಬೆಲೆಗಳು ಮೇಲೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ (3), (4) ಅನಂತರ ಶ್ರೇಣಿಗಳೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. n ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದರೆ J_n ನ ಬೆಲೆ (1) ರಲ್ಲಿರುವ ಶ್ರೇಣಿ. ಆದರೆ n ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ J_-n ಶ್ರೇಣಿ J_n ನ ಒಂದು ಗುಣಕ. ಇದರಂತೆಯೇ n ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ J_n ಶ್ರೇಣಿ J_-n ನ ಒಂದು ಗುಣಕ. n=0 ಆದಾಗ ಎರಡು ಶ್ರೇಣಿಗಳೂ ಒಂದಾಗುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ n ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಅಥವಾ ಸೊನ್ನೆಯಾದಾಗ ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (6) ಒಂದು ಪರಿಹಾರ ಮಾತ್ರ ಕೊಡುತ್ತದೆ. ಬೇರೊಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬೇರೆ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಬೇಕು.

ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ J_n(x) ಎಂಬ ಉತ್ಪನ್ನ n ನ ಎಲ್ಲ ಬೆಲೆಗಳೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿರುವುದಾದರೂ n ಧನ ಪೂಣಾಂಕವಿರುವ J_n ಗೆ ಅತಿಶಯ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯ ಉಂಟು. ಗಣಿತದ ಅನೇಕ ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಇದರ ವ್ಯಾಪಕತ್ವ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ.

ಮುಖ್ಯ ಗುಣಗಳು

J_n(x) ನ ಕೆಲವು ಮುಖ್ಯ ಗುಣಗಳಿವು. n ಪೂಣಾಂಕವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ.

1. $J_0(x)=1-\frac{x^2}{2^2}+\frac{x^4}{2^2.4^2}-\frac{x^6}{2^2.4^2.6^2}+\cdots$
2. $J_{n-1}(x)+J_{n+1}(x)=\frac{2n}{x}{J}_n(x)$. ಇದಕ್ಕೆ J_n ನ ಪುನರಾವರ್ತಕ ಸೂತ್ರ (recurrence formula) ಎಂದು ಹೆಸರು. J_n-1 ಮತ್ತು J_n ನ ಸಹಾಯದಿಂದ ಮುಂದಿನ ಉತ್ಪನ್ನ J_n+1 ನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.
3. ${J_n}^{\prime }(x)=\frac{n}{x}{J}_n(x)-J_{n+1}(x)$
4. ${J_n}^{\prime }(x)=\frac{1}{2}\{J_{n-1}(x)-J_{n+1}(x)\}$
5. ${J_n}^{\prime }(x)=J_{n-1}(x)-\frac{n}{x}{J}_n(x)$
6. $J_{\frac{1}{2}}(x)=\frac{2^{\frac{1}{2}}{x}^{\frac{1}{2}}}{{\pi }_{\frac{1}{2}}}\{1-\frac{x^2}{2.3}+\frac{x^4}{2.3.4.5}-\cdots \}={\left(\frac{2}{\pi x}\right)}^{\frac{1}{2}}\sin x$
7. $J_{k+\frac{1}{2}}(x)=(-1{)}^k\frac{(2x{)}^{k+\frac{1}{2}}}{{\pi }^{\frac{1}{2}}}\times \frac{d^k}{d(x^2{)}^n}\left(\frac{\sin x}{x}\right)$, k= ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ.
8. $\cos x=J_0(x)-2J_2(x)+2J_4(x)-\cdots$, $\sin x=2J_1(x)-2J_3(x)+2J_5(x)-\cdots$
9. n ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ, $J_n(x)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}(\cos n\theta -x\sin \theta )d\theta$
10. $\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{e}^{-ax}{J}_0(bx)dx=(a^2+b^2{)}^{-\frac{1}{2}}$
11. $J_{-n}\frac{d{J}_n}{dx}-J_n\frac{d{J}_{-n}}{dx}=\frac{2}{\pi x}\sin n\pi$

ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಅವಕಲನಾಂಕವಿರುವ (continuous differential coefficient) ಯಾವುದೇ ಉತ್ಪನ್ನ f(x) ನ್ನು (0,π) ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ, ಬೆಸ್ಸಲನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು:

$f(x)=a_0+a_1{J}_0(x)+a_2{J}_0(2x)+\cdots$

ಇಲ್ಲಿ $a_0=f(0)+\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}u\underset{0}{\overset{\frac{1}{2}\pi }{\int }}{f}^{\prime }(u\sin \theta )d\theta du$

$a_0=\frac{2}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}u\cos nu\underset{0}{\overset{\frac{1}{2}\pi }{\int }}{f}^{\prime }(u\sin \theta )d\theta du,n>0$

ಬೆಸ್ಸಲನ ಉತ್ಪನ್ನದ ಶೂನ್ಯಗಳು

φ(x) = 0 ಆಗುವಂಥ ಯಾವುದೇ x ನ ಬೆಲೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೂಲ (root of a function) ಎಂದು ಹೆಸರಿದೆ. ಪ್ರೌಢವಿಶ್ಲೇಷಣ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು ಉತ್ಪನ್ನದ ಶೂನ್ಯ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಉತ್ಪನ್ನದ ಶೂನ್ಯಗಳಿಗೆ ಸ್ವಾರಸ್ಯಕರ ಗುಣಗಳಿವೆ.

n ಯಾವುದೇ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದರೆ J_n(x) ಗೆ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಗಳಿವೆ. ಎಲ್ಲ ಶೂನ್ಯಗಳೂ ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆಗಳು. J_n(x) ನ ಎರಡು ಧನ ಶೂನ್ಯಗಳ ನಡುವೆ J_n+1(x) ನ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವೂ J_n-1(x) ನ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವೂ ಇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ J_n, J_n-1 ನ ಶೂನ್ಯಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತವೆ. $n>\frac{1}{2}$ ಆದಾಗ J_n(x) ಆಸನ್ನ ಶೂನ್ಯಗಳ ನಡುವಣ ಅವಧಿ π ಗಿಂತ ಅಧಿಕ, ಆದರೆ ದೊಡ್ಡ ಶೂನ್ಯಗಳ ನಡುವಣ ಅವಧಿಯನ್ನು π ಗಿಂತ ಕೋರಿದಷ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿ ಮೀರುವಂತೆ ಆಯಬಹುದು.

ಧನ x-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ π ಉದ್ದದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅವಧಿಯಲ್ಲೂ J(x) ನ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವಿದೆ.

ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಅವಕಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (6) ರಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಉಕ್ತಿ n ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲದಾಗ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ n ಕೊಡುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ ಇದರಿಂದ J_n ಎಂಬ ಒಂದೇ ಪರಿಹಾರ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣದ ಇನ್ನೊಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವೆವು.

n=0 ಆದಾಗ ಇನ್ನೊಂದು ಪರಿಹಾರ

$y_0=J_0\log x+2\{J_2-\frac{1}{2}{J}_4+\frac{1}{3}{J}_6-\frac{1}{4}{J}_8+\frac{1}{5}{J}_{10}-\cdots \}$

ಆದ್ದರಿಂದ, $\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+\frac{1}{x}\frac{dy}{dx}+y=0$

ಎಂಬ ಅವಕಲ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರ

y = AJ_೦ + By_೦

n ಸೊನ್ನೆಯಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಅವಕಲ ಸಮೀಕರಣದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ

y = AJ_n + By_n

ಇಲ್ಲಿ, $y_n=\log x-\sum _{r=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^r\frac{n+2r}{r(n+r)}{J}_{n+2r}$

$-\frac{1}{2}\pi (n)\sum _{p=0}^{n-1}\frac{1}{n-p}{\left(\frac{2}{x}\right)}^{n-p}\frac{J_p}{\pi (p)}$

y₀, y_n ಉತ್ಪನ್ನಗಳು x=0 ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕ್ರಮವಾಗಿಲ್ಲವೆಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

ಉಲ್ಲೇಖಗಳು

• ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Abramowitz Stegun ref2
• Arfken, George B. and Hans J. Weber, Mathematical Methods for Physicists, 6th edition (Harcourt: San Diego, 2005). ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:ISBN.
• ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Cite journal Reproduced as pages 84 to 109 in ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Cite book English translation of the text.

ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು

• ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:SpringerEOM.
• ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:SpringerEOM.
• ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:SpringerEOM.
• Wolfram function pages on Bessel J and Y functions, and modified Bessel I and K functions. Pages include formulas, function evaluators, and plotting calculators.