ಬೀಟ ಉತ್ಪನ್ನ

ಬೀಟ ಉತ್ಪನ್ನ ಎಂಬುದು ವಿಶ್ಲೇಷಣ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಬರುವ ಒಂದು ವಿಶಿಷ್ಟ ಉತ್ಪನ್ನ (ಬೀಟ ಫಂಕ್ಷನ್). ಇದನ್ನು ಮೊದಲ ವಿಧದ ಆಯ್ಲರ್ ಅನುಕಲವೆಂದೂ ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು ಗಾಮಾ ಉತ್ಪನ್ನ ಮತ್ತು ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕಗಳಿಗೆ ನಿಕಟವಾಗಿ ಸಂಬಂಧಿಸಿದೆ. ಇದರ ವ್ಯಾಖ್ಯೆ ಹೀಗಿದೆ:

$\mathrm{B}(l,m)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{l-1}(1-x{)}^{m-1}dx$, l ಮತ್ತು m > 0

ಇದರಲ್ಲಿ x = sin² θ ಎಂದು ಆದೇಶಿಸಿ ಈ ಮುಂದಿನದನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು:

$\mathrm{B}(l,m)=\underset{0}{\overset{\pi /2}{\int }}{\sin }^{2l-1}\theta {\cos }^{2m-1}\theta d\theta$, l ಮತ್ತು m > 0

ಬೀಟ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು ಲಿಯೊನ್‍ಹಾರ್ಟ್ ಆಯ್ಲರ್ ಮತ್ತು ಆದ್ರಿಯೆನ್-ಮಾರಿ ಲೆಜಾಂಡ್ರ ಅಧ್ಯಯನ ಮಾಡಿದರು. ಇದಕ್ಕೆ ಇದರ ಹೆಸರನ್ನು ಜಾಕ್ ಬಿನ ನೀಡಿದ.

ಕೆಲವು ಮುಖ್ಯ ಗುಣಗಳು

• B(l, m) = B(m, l)
• $\mathrm{B}(l,m)=\frac{\mathrm{\Gamma }(l)\mathrm{\Gamma }(m)}{\mathrm{\Gamma }(l+m)}$
• $\mathrm{B}(l,m)=\frac{(l-1)!(m-1)!}{(l+m-1)!}$