ಬಾನಾಕ್ ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸ

ಬಾನಾಕ್ ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸ ಎನ್ನುವುದು ಗಣಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲಾಧಾರಗಳ ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಅಧ್ಯಯನದ ವೇಳೆ ತಲೆದೋರಿರುವ ಒಂದು ವಿರೋಧಾಭಾಸ. ಇದನ್ನು ಪ್ರಕಟಿಸಿದವರು (1924) ಬಾನಾಕ್ ಮತ್ತು ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ಎಂಬ ಗಣಿತವಿದರು.

ಆಂಶಿಕ ಮತ್ತು ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ರಮಸಂಬಂಧ

ಕ್ರಮಸಂಬಂಧ (ಆರ್ಡರ್ ರಿಲೇಶನ್): S ಒಂದು ಅಶೂನ್ಯ ಗಣವಾಗಿರಲಿ. ಎಂದರೆ $S\ne \varphi$. ಇದರಲ್ಲಿ $\le$ (ಚಿಕ್ಕದು ಅಥವಾ ಸಮ) ಎಂಬ ದ್ವಿಗುಣ ಸಂಬಂಧ ವ್ಯಾಖ್ಯಿತವಾಗಿದ್ದು ಅದು ಮುಂದೆ ಉಲ್ಲೇಖಿಸಿರುವ ಅಭಿಗೃಹೀತಗಳನ್ನು (ಪಾಸ್ಟ್ಯುಲೇಟ್ಸ್) ಪಾಲಿಸುತ್ತಿರಲಿ:

1. $x\le x,\mathrm{\forall }xϵS$
2. $x\le y$ ಮತ್ತು $y\le x$ ಅಂದರೆ x = y ಆಗಲೇಬೇಕು
3. $x\le y$ ಮತ್ತು $y\le z$ ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ $x\le z$ ಆಗಲೇಬೇಕು

ಹೀಗಿದ್ದರೆ ಮೇಲಿನ ಸಂಬಂಧ $\le$ ವನ್ನು S ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದ ಒಂದು ಆಂಶಿಕ ಕ್ರಮ ಸಂಬಂಧ (ಪಾರ್ಶಿಯಲ್ ಆರ್ಡರ್) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ ಮತ್ತು S ಅಂಶಿಕ ಕ್ರಮಸಂಬಂಧಯುಕ್ತವಾಗಿದೆ ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.

ಇಷ್ಟರ ಮೇಲೆ S ಗೆ ಸೇರಿದ ಯಾವ ಎರಡು ಧಾತು x,y ಗಳಿಗೂ $x\le y$ ಅಥವಾ $y\le x$ ಎನ್ನುವ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ ನಿಲ್ಲುವಂತಿದ್ದರೆ $\le$ ವನ್ನು S ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದ ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ರಮಸಂಬಂಧ ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Sfn

ಸುವ್ಯವಸ್ಥಿತ ಕ್ರಮ ಪ್ರಮೇಯ ಮತ್ತು ಆಯ್ಕೆ ಆದ್ಯುಕ್ತಿ

ಈ. ಜೆರ್ಮಲೋ ಎಂಬ ಜರ್ಮನ್ ಗಣಿತವಿದ 1904ರಲ್ಲಿ ಈಗ ಸುವ್ಯವಸ್ಥಿತ ಕ್ರಮ ಪ್ರಮೇಯ (ದ ವೆಲ್ ಆರ್ಡರಿಂಗ್ ತೀಯರಮ್) ಎಂದು ಪ್ರಸಿದ್ಧವಾಗಿರುವ ಫಲಿತಾಂಶ ಸಾಧಿಸಿದ: S ಯಾವುದೇ ಅಶೂನ್ಯ ಗಣವಾಗಿದ್ದರೂ ಅದರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ರಮಸಂಬಂಧ $\le$ ವನ್ನು ಯುಕ್ತ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಬಹುದು. ಇದರಿಂದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ರಮಸಂಬಂಧ ಪಡೆದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗಣದ ಒಂದೊಂದು ಉಪಗಣದಲ್ಲೂ ಅದರದರ ಪ್ರಥಮ (ಎಂದರೆ ಅತಿ ಚಿಕ್ಕ) ಧಾತು ಇರುತ್ತದೆ ಎಂದು ತೋರಿಸಿಕೊಡಬಹುದು. ಈ ಬಗೆಯ ಸಂಶೋಧನೆಗಳ ಪ್ರಕಟಣೆ ಗಣಿತವಿದರಲ್ಲಿ ತೀವ್ರ ಪ್ರತಿಕ್ರಿಯೆ ಉಂಟು ಮಾಡಿತು. ಇಂಥ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಒಪ್ಪುವುದೇ ಅವರಿಗೆ ಕಷ್ಟಸಾಧ್ಯವಾಯಿತು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ $\{x|0\le x\le 1\}$ ಗಣದಲ್ಲಿ ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಕ್ರಮ ಒಂದು ಸಂಪೂರ್ಣ ಕ್ರಮಸಂಬಂಧ. ಆದರೆ ಇದರ ಉಪಗಣವಾದ $\{x|0<x\le 1\}$ ರಲ್ಲಿ ಪ್ರಥಮ ಅರ್ಥಾತ್ ಅತಿ ಚಿಕ್ಕ ಧಾತು ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಏಕೆಂದರೆ r > 0 ಇಂಥ ಅತಿ ಚಿಕ್ಕ ಧಾತುವಾದರೆ $\frac{1}{r}>0$  ಮತ್ತು r ಗಿಂತ ಚಿಕ್ಕ ಧಾತುವಾಗಿದ್ದು ಪೂರ್ವ ಪಕ್ಷವನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಅವರು ಮೇಲಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳ ಸಾಧನೆಯಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲೊ ಲೋಪದೋಷ ನುಸುಳಿರಬಹುದೆಂದು ಸೂಕ್ಷ್ಮ ಪರಿಶೀಲನೆ ಮಾಡಿದರು. ಈ ಪ್ರಯತ್ನಗಳಲ್ಲಿ ಫ್ರಾನ್ಸಿನ ಈ. ಬೊರೆಲ್ ಎಂಬಾತ ಜೆರ್ಮೆಲೋ ತನ್ನ ಸುವ್ಯವಸ್ಥಿತ ಕ್ರಮ ಪ್ರಮೇಯದ ಸಾಧನೆಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಆದ್ಯುಕ್ತಿ (axiom) ಉಪಯೋಗಿಸಿರುವುದನ್ನು ಗೊತ್ತು ಹಚ್ಚಿದ. ಇದಕ್ಕೆ ಈಗ ಜೆರ್ಮೆಲೋನ ಆಯ್ಕೆ ಆದ್ಯುಕ್ತಿ (ಆ್ಯಕ್ಸಿಯಮ್ ಆಫ್ ಚಾಯ್ಸ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಇದರ ಒಕ್ಕಣೆ ಹೀಗಿದೆ: ಒಂದು ಗಣ S ನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಬೇರ್ಪಟ್ಟ ಉಪಗಣ A, B, C, ... ಗಳಾಗಿ ವಿಭಾಗಿಸಿದರೆ ಈ A, B, C, ... ಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದರಿಂದಲೂ ಒಂದೊಂದೇ ಧಾತು ಪಡೆದಿರುವಂಥ ಕನಿಷ್ಠ ಪಕ್ಷ ಒಂದು ಗಣ R ನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. ಇದರಿಂದ A ಯಿಂದ ಒಂದು ಧಾತುವನ್ನೂ, B ಯಿಂದ ಒಂದು ಧಾತುವನ್ನೂ, C ಯಿಂದ ಒಂದು ಧಾತುವನ್ನೂ ಹೀಗೆ ಒಂದೊಂದೇ ಧಾತುವನ್ನು ಆಯಬಹುದು ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಯಿತು. ಎಂದೇ ಈ ಮೇಲಿನ ಆದ್ಯುಕ್ತಿಗೆ ಆಯ್ಕೆ ಆದ್ಯುಕ್ತಿ ಎಂಬ ಹೆಸರು.

ಬಾನಾಕ್ ಮತ್ತು ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ಪ್ರಮೇಯ

ಮೇಲ್ನೋಟಕೆ ಅತಿ ಸರಳವಾಗಿ ತೋರುವ ಇದು ಕ್ಲಿಷ್ಟವೂ, ನಂಬಲು ಅಸಾಧ್ಯವೂ ಆದ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳಿಗೆ ಎಡೆಕೊಟ್ಟಿದೆ. ಇದರ ಅನ್ವಯದಿಂದ 1924ರಲ್ಲಿ ಬಾನಾಕ್ ಮತ್ತು ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ಒಂದು ಪ್ರಮೇಯ ಸಾಧಿಸಿದರು; ಆಯಾಮ n > 2 ಆಗಿರುವ ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಆಕಾಶ Eⁿ ಗಳಲ್ಲಿ ಅಂತರ್ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಹೊಂದಿರುವ ಯಾವ ಎರಡು ಸೀಮಿತ ಗಣಗಳೇ ಆಗಲಿ ಪರ್ಯಾಪ್ತ ವಿಭಜನೆಯಿಂದ ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನತ್ವದಲ್ಲಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಪ್ರಮೇಯದ ಕ್ಲಿಷ್ಟಪೂರ್ಣ ಸಾಧನೆಯ ವಿವರಗಳನ್ನು ಪಂಡಿತರಿಗೆ ಬಿಟ್ಟು ಇಲ್ಲಿ ಇದರ ಒಂದು ಪ್ರಯುಕ್ತಿಯನ್ನು ವಿವರಿಸೋಣ. ಆಯಾಮ ಮೂರರ ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಸಮಷ್ಟಿ E³ ರಲ್ಲಿ ಎರಡು ಗೋಳಗಳನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಒಂದು ಕಡಲೆಕಾಳು ಗಾತ್ರದ್ದು, ಇನ್ನೊಂದು ಸೂರ್ಯ ಗಾತ್ರದ್ದು. ಇವೆರಡೂ ಸೀಮಿತ ಹಾಗೂ ಅಂತರ್ಬಿಂದುಯುತ ಎಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟ. ಹೀಗಾಗಿ ಬಾನಾಕ್-ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ಪ್ರಮೇಯದ ಅನ್ವಯಕ್ಕೆ ಯೋಗ್ಯವಾಗಿವೆ. ಪ್ರಮೇಯದ ಪ್ರಕಾರ P ಯನ್ನು P₁, P₂, ..., P_n ಉಪಗಣಗಳಾಗಿಯೂ S ನ್ನು S₁, S₂, ..., S_n ಉಪಗಣಗಳಾಗಿಯೂ ವಿಂಗಡಿಬಹುದು. ಮೇಲಾಗಿ ಈ ವಿಂಗಡಣೆಯಲ್ಲಿ ಈ ಮುಂದಿನ ನಿರ್ಬಂಧಗಳು ನಿಲ್ಲುವಂತೆ ವ್ಯವಸ್ಥಿಸಬಹುದು:

$P=P_1\cup P_2\cup ...P_n$ ಎಂದರೆ P ಯು P₁, ...., P_n ಗಳ ಸಂಯೋಗ,

$S=S_1\cup S_2\cup ...S_n$ ಎಂದರೆ S ಎಂಬುದು S₁, ...., S_n ಗಳ ಸಂಯೋಗ,

$i\ne j$ ಆದರೆ $P_i\cap P_j=\varphi$ ಎಂದರೆ P₁, ...., P_n ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಬೇರ್ಪಟ್ಟಿವೆ. ಮತ್ತು $S_i\cap S_j=\varphi$ಎಂದರೆ S₁, ...., S_n ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಬೇರ್ಪಟ್ಟಿವೆ. ಇಷ್ಟರಮೇಲೆ $P_i\equiv S_i,\mathrm{\forall }i=1,2,\cdots ,n$ ಎಂದರೆ ಪ್ರತಿ P_i ಅದರ ಸಂವಾದಿ S_i ಗೆ ಸಮಾನತ್ವದಲ್ಲಿದೆ.

ಈಗ ಯೂಕ್ಲಿಡೀಯ ಆಕಾಶಗಳಲ್ಲಿ ಸಮಾನತ್ವವೆಂದರೆ (equivalence) ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ಸರ್ವಸಮತ್ವ, ಎಂದರೆ ಕೇವಲ ಆವರ್ತನೆಗಳು ಮತ್ತು ಸರಳ ಚಲನೆಗಳು. ಇವುಗಳಿಂದಲೇ ಒಂದು ಆಕೃತಿಯನ್ನು ಒಂದೆಡೆಯಿMದ ಮತ್ತೊಂದೆಡೆಗೆ ಒಯ್ಯಬಹುದು ಎಂದು ಅರ್ಥ. ಈ ದೃಷ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಯುಕ್ತಿಯನ್ನು ನಂಬುವುದಾದರೂ ಎಂತು? ಸೂರ್ಯನ ಗಾತ್ರದ ದೊಡ್ಡ ಗೋಳದ ಭಾಗಗಳು ಕಡಲೆಗಾತ್ರದ ಗೋಳದ ಭಾಗಗಳಿಗೆ ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾನತ್ವದಲ್ಲಿವೆಯೆಂದೂ S ಮತ್ತು P ಗಳು ಅವುಗಳ ಪರಸ್ಪರ ಸಮಾಹಾರಗಳೆಂದೂ ಒಪ್ಪಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಯಾವ ಊಹೆಗೂ ನಿಲುಕದ ವಿಷಯವೇ ಸರಿ. ಇಂಥ ವಿರೋಧ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳಿಗೆ ಎಡೆ ಮಾಡಿಕೊಡುವ ಮೇಲಿನ ಪ್ರಮೇಯವನ್ನು ಬಾನಾಕ್-ಟಾರ್ಸ್ಕಿ ವಿರೋಧಾಭಾಸವೆಂದು ಕರೆಯುವುದು ಔಚಿತ್ಯಪೂರ್ಣ ಅನ್ವರ್ಥವೇ ಸರಿ.

ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು

• The Banach-Tarski Paradox by Stan Wagon (Macalester College), the Wolfram Demonstrations Project.
• Irregular Webcomic! #2339 by David Morgan-Mar provides a non-technical explanation of the paradox. It includes a step-by-step demonstration of how to create two spheres from one.
• ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Cite web gives an overview on the fundamental basics of the paradox.
• Banach-Tarski and the Paradox of Infinite Cloning