ಘಟನೆಗಳ ಗಣಿತ

ಘಟನೆಗಳ ಗಣಿತ ಎನ್ನುವುದು ಒಟ್ಟಾಗಿ ಇಲ್ಲವೇ ಬಿಡಿಯಾಗಿ ಘಟನೆಗಳು ಘಟಿಸುವುದರ ಇಲ್ಲವೇ ಘಟಿಸದಿರುವುದರ ಗಣಿತೀಯ ಅಧ್ಯಯನ (ಆಲ್ಜೀಬ್ರ ಆಫ್ ಈವೆಂಟ್ಸ್). ಸಂಭವಿಸಬಹುದಾದ ಘಟನೆಗಳನ್ನು A, B, C, ಇಲ್ಲವೇ A₁, A₂, A₃, ಮುಂತಾದ ಅಕ್ಷರಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ಘಟನೆಗಳ ಒಟ್ಟು ಸಮುದಾಯಕ್ಕೆ ಘಟನೆಗಳ ಆಕಾಶ ಅಥವಾ ವಿಶ್ವ (event space or universe) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಬಿಂದುಗಳಾಗಿ ಅಥವಾ ಪ್ರದೇಶಗಳಾಗಿ ಸೂಚಿಸುವುದು ಕೂಡ ಸಾಧ್ಯ. ಇಂಥ ಬಿಂದುಗಳು ವಿಯುತ (ಡಿಸ್‌ಜಾಯಿಂಟ್) ಆಗಿರಬಹುದು ಇಲ್ಲವೇ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ (ಕಂಟಿನ್ಯುವಸ್) ಆಗಿರಬಹುದು. ಅನುಕೂಲತೆಗೋಸ್ಕರ ಘಟನಾಕಾಶವನ್ನು ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನವಾಗಿರುವಂತೆ ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಘಟನೆ, ಅದರ ವಿಧಗಳು, ಉದಾಹರಣೆಗಳು

ಒಂದು ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಚಿಮ್ಮಿದರೆ ಅದು ನೆಲಕ್ಕೆ ಬಿದ್ದಾಗ ಮೇಲೆ ತಲೆ ಕಾಣುವಂತೆ ಬೀಳಬಹುದು-ಈ ಘಟನೆಯನ್ನು H = Head ಎಂದು ಸೂಚಿಸೋಣ; ಅಥವಾ ಬಾಲ ಮೇಲುಗಡೆ ಕಾಣುವಂತೆ ಬೀಳಬಹುದು; ಇದನ್ನು T = Tail ಎಂದು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಈ ಎರಡೇ ಬಗೆಯ ಫಲಿತಾಂಶಗಳು ಸಾಧ್ಯ. ಆದ್ದರಿಂದ ಘಟನಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಇವೆರಡೇ ಬಿಂದುಗಳಿರುವುವು; ಮತ್ತು ಇವೆರಡೇ ಘಟನೆಗಳ ವಿಶ್ವ ಸಿಕ್ಕುವುದು.

ಅಂದರೆ ಘಟನಾಕಾಶದಲ್ಲಿ ಈ ಒಂದು ಜೊತೆ ಬಿಂದುಗಳು ಇವೆಯೆಂದಾಯಿತು. ಒಂದು ಷಟ್ಫಲಕದ ದಾಳದ (6-faced dice) 6 ಬದಿಗಳ ಮೇಲೆ A, B, C, D, E, F ಎಂಬ ಅಕ್ಷರಗಳನ್ನು ಬರೆದಿದೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಇದನ್ನು ನೆಲದ ಮೇಲೆ ತೂರಿದಾಗ 6 ಬೇರೆಬೇರೆ ಘಟನೆಗಳು ಸಂಭವಿಸುವುದು. ಇವನ್ನು A, B, C, D, E, F ಎಂದೇ ಸೂಚಿಸಬಹುದು. ಈಗ ಘಟನಾಕಾಶದಲ್ಲಿ 6 ಬಿಂದುಗಳಿರುವುವು. ಇವನ್ನು ಇದೇ ಪ್ರತೀಕಗಳಿಂದ ಸೂಚಿಸಬಹುದು. ಈ ಪ್ರಯೋಗದಲ್ಲಿ ಈ 6 ಬಿಂದುಗಳ ಸಮೂಹವೇ ಸಮಗ್ರ ಘಟನಾಕಾಶವಾಗುವುದು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ.

ಘಟನೆಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ವಿಧಗಳುಂಟು: ಸರಳ ಘಟನೆಗಳು (simple events) ಮತ್ತು ಸಂಯುಕ್ತ ಘಟನೆಗಳು (compound events). ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚು ಘಟನೆಗಳನ್ನಾಗಿ ವಿಘಟಿಸಲಾಗುವ ಘಟನೆಗೆ ಸಂಯುಕ್ತ ಘಟನೆ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಹೀಗೆ ವಿಘಟಿಸಲಾದ ಘಟನೆಗೆ ಸರಳ ಘಟನೆ ಎಂದು ಹೆಸರು. ರಸಾಯನಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಅಣುಗಳು ಮತ್ತು ಪರಮಾಣುಗಳು ಇರುವಂತೆ.

ಅಣುವನ್ನು ಎರಡು ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಪರಮಾಣುಗಳನ್ನಾಗಿ ವಿಘಟಿಸಬಹುದು. ಪರಮಾಣುವನ್ನು ಹಾಗೆ ವಿಘಟಿಸಲಾಗುವುದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ A, B, C, D, E, F ಎಂಬ ಅಂಕಿತಗಳುಳ್ಳ ಬದಿಗಳಿಗಿರುವ ದಾಳವನ್ನು ಉರುಳಿಸಿದಾಗ ಯಾವುದೇ ಒಂದು ಅಕ್ಷರ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ A ಬಿದ್ದರೆ, ಅದು ಸರಳ ಘಟನೆಯಾಗುವುದು. ಈಗ ವ್ಯಂಜನಾಕ್ಷರವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದಾದಂಥ ಘಟನೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದರೆ ಅದನ್ನು B, C, D, E ಎಂಬ ನಾಲ್ಕು ಸರಳ ಘಟನೆಗಳನ್ನಾಗಿ ಒಡೆಯಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ ಅದು ಸಂಯುಕ್ತ ಘಟನೆಯಾಗುವುದು. ಇದರಂತೆಯೇ ಸ್ವರಾಕ್ಷರವನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದಾದಂಥ ಘಟನೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದರೆ ಅದೂ ಸಂಯುಕ್ತ ಘಟನೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಏಕೆಂದರೆ ಇದನ್ನು A ಮತ್ತು E ಎಂಬ ಎರಡು ಸರಳ ಘಟನೆಗಳನ್ನಾಗಿ ಒಡೆಯಬಹುದು.

ಮೇಲಿನ ಉದಾಹರಣೆಯಲ್ಲಿ ವಿವರಿಸಿರುವ 6 ಘಟನೆಗಳಿಂದ ಬೇರೆಯದಾದ 7ನೆಯ ಘಟನೆ ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಈ 6 ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಎರಡು ಭಿನ್ನ ರೀತಿಗಳಲ್ಲಿ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಿ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಿದೆ. ಈ ಘಟನೆಗಳು ಸಂಪೂರ್ಣ ಅಂದರೆ ವಿಶೇಷ (ಎಗ್‍ಸಾಸ್ಟಿವ್) ಆಗಿವೆ; ಮತ್ತು ಘಟನೆಗಳ ವಿಶ್ವ ಈ 6 ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಮಾತ್ರ ಒಳಗೊಂಡಿರುವುದು.

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ನಿರೂಪಿಸಿರುವುದನ್ನೇ ಬೇರೊಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಇನ್ನೊಂದು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿರುವಂತೆ ಪ್ರದರ್ಶಿಸಬಹುದು. ಬ್ರಿಟಿಷ್ ತಾರ್ಕಿಕನಾದ ಜಾನ್ ವೆನ್ (1834-1883) ಎಂಬಾತ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ಒಂದು ವಿಧವಾದ ಚಿತ್ರಗಳ ಮೂಲಕ ನಿರೂಪಿಸಿವುದನ್ನು ಪ್ರಚುರಪಡಿಸಿದ. ಆದ ಕಾರಣ ಇಂಥ ಚಿತ್ರಗಳಿಗೆ ವೆನ್ ಚಿತ್ರಗಳೆಂಬ ಹೆಸರಾಯಿತು.

ಒಂದೊಂದರಲ್ಲೂ ಆರು ಘಟಕಗಳಿರುವ ಒಂದು ಜೊತೆ ದಾಳಗಳನ್ನು ಎಸೆದರೆ 36 ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಸರಳ ಘಟನೆಗಳು ಒದಗುವುದು. ಮೊದಲನೆಯ ದಾಳದ ಗರವನ್ನು x ಎಂದೂ, ಎರಡನೆಯ ದಾಳದ ಗರವನ್ನು y ಎಂದೂ ಸೂಚಿಸೋಣ. x = 1, 2, 3, 4, 5, 6, ಮತ್ತು y = 1, 2, 3, 4, 5, 6 ಎನ್ನುವ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳಿವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಘಟನಾಕಾಶದಲ್ಲಿ 36 ಬಿಂದುಗಳಿರುವುವು.

ಅವನ್ನು ಆಲೇಖದಲ್ಲಿ, ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ (x_i, y_j); i, j=,1, 2, 3, 4, 5, 6 ಎಂಬ 36 ವಿವಿಧ ಬಿಂದುಗಳಾಗಿ ಗುರುತಿಸಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವೂ ಒಂದು ಸರಳ ಘಟನೆಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.

ಈಗ ಒಂದು ಸಂಯುಕ್ತ ಘಟನೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಎರಡು ದಾಳಗಳಲ್ಲಿನ ಗರಗಳ ಮೊತ್ತ 8 ಇರುವುದು ಎಂಬ ಘಟನೆ ಒಂದು ಸಂಯುಕ್ತ ಘಟನೆಯಾಗುವುದು. ಇದನ್ನು (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2) ಎಂಬ ಐದು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಸರಳ ಘಟನೆಗಳನ್ನಾಗಿ ವಿಘಟಿಸಬಹುದು. ಆಲೇಖದಲ್ಲಿ ಈ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಂದು ವಲಯದಿಂದ ಸುತ್ತುಗಟ್ಟಿ ತೋರಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಮತ್ತೊಂದು ಸಂಯುಕ್ತ ಘಟನೆಯನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ: ಎರಡು ದಾಳಗಳಲ್ಲಿನ ಗರಗಳ ಗುಣಲಬ್ಧ 12 ಇರುವ ಘಟನೆ. ಇದನ್ನು (2, 6), (3, 4) (4, 3) (6, 2) ಎಂಬ ನಾಲ್ಕು ಬೇರೆ ಬೇರೆ ಸರಳ ಘಟನೆಗಳನ್ನಾಗಿ ವಿಘಟಿಸಬಹುದು. ಈ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಒಟ್ಟುಗೂಡಿಸಿ ಒಂದು ಪಟ್ಟಿಯಲ್ಲಿ ತೋರಿಸಬಹುದು. A ಎಂಬ ಘಟನೆಗೆ ವಿಪರ್ಯಾಸವಾದ (ಕಾಂಟ್ರರಿ) ಘಟನೆಯನ್ನು Ā ಎಂಬುದಾಗಿ ಬರೆಯೋಣ. ಇದನ್ನು A ಸಲಾಕಿ (ಬಾರ್) ಎಂದು ಓದಬಹುದು. ಒಂದು ನಾಣ್ಯವನ್ನು ಚಿಮ್ಮಿದಾಗ ಅದು ತಲೆ ಮೇಲುಗಡೆ ಇರುವಂತೆ ಬೀಳುವ ಘಟನೆ A ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ ತಲೆ ಮೇಲುಗಡೆ ಬೀಳದಿರುವ ಘಟನೆ Ā ಆಗುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ Ā, A ಇವೆರಡೂ ಸರಳ ಘಟನೆಗಳು. ಷಟ್ಫಲಕದ ದಾಳವನ್ನು ಎಸೆದಾಗ ಗರ 6 ಬೀಳುವ ಘಟನೆಯನ್ನು S ಎಂದು ಸೂಚಿಸಿದರೆ ಗರ 6 ಬೀಳದಿರುವ ಘಟನೆಯನ್ನು $\bar{S}$ ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಎಂದರೆ $\bar{S}$ ಎಂಬುದು ಸಂಯುಕ್ತ ಘಟನೆಯಾಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು 1, 2, 3, 4, 5 ಎಂಬ ಗರಗಳು ಬೀಳುವ 5 ಸರಳ ಘಟನೆಗಳನ್ನಾಗಿ ವಿಘಟಿಸಬಹುದು. S ಮತ್ತು $\bar{S}$ ಇವರೆಡೂ ಕೂಡಿ ಸಂಪೂರ್ಣ ಆಕಾಶವಾಗುವುದು, ಅಂದರೆ S + $\bar{S}$ = U.

ಗಣಗಳ ಸಮತೆ, ಸಂಯೋಗ ಮತ್ತು ಛೇದನ

A, B ಎಂಬ ಎರಡು ಘಟನೆಗಳು ಒಂದೇ ಆಕಾಶದಲ್ಲಿದ್ದು A ಘಟಿಸಿದಾಗಲೆಲ್ಲ B ಘಟಿಸುವುದಾದರೆ A ಯಲ್ಲಿ B ಸೇರ್ಪಡೆಯಾಗಿದೆ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಪ್ರತೀಕಾತ್ಮಕವಾಗಿ A ⊆ B ಅಥವಾ B ⊇ A ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.

ದಾಳದ ಗರ 6 ಎಂಬ ಘಟನೆಯನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸೋಣ. ಗರ 3 ಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚು ಎಂಬ ಘಟನೆಯಲ್ಲಿ ಇದು ಸೇರ್ಪಡೆಯಾಗಿದೆ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ. ಇದೇ ರೀತಿ F ಎಂಬ ಘಟನೆ ನನಗೆ ಕರ್ನಾಟಕದ ಲಾಟರಿಯಲ್ಲಿ ಮೊದಲನೆಯ ಬಹುಮಾನ ಸಿಗುವುದು ಮತ್ತು P ಎಂಬ ಘಟನೆ ನನಗೆ ಕರ್ನಾಟಕದ ಲಾಟರಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಬಹುಮಾನ ಸಿಗುವುದು ಎಂದಿರಲಿ. ಆಗ F ಘಟನೆ P ಎಂಬ ಘಟನೆಯಲ್ಲಿ ಸೇರ್ಪಡೆಯಾಗಿದೆ: F ⊆ P

A ಎಂಬ ಘಟನೆಯು B ಯಲ್ಲಿ ಸೇರ್ಪಡೆಯಾಗಿದ್ದು ಹಾಗೂ B ಎಂಬ ಘಟನೆಯು A ಯಲ್ಲಿ ಸೇರ್ಪಡೆಯಾಗಿದ್ದರೆ A, B ಎರಡೂ ಸಮ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ; ಮತ್ತು ಇದನ್ನು A=B ಎಂದು ಪ್ರತೀಕಾತ್ಮವಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. A ಮತ್ತು B ಘಟನೆಗಳರಡೂ ಒಮ್ಮೆಲೆ ಏರ್ಪಟ್ಟಾಗ ಅದಕ್ಕೆ A ಮತ್ತು B ಗಳ ಛೇದನ (ಇಂಟರ್‌ಸೆಕ್ಷನ್) ಎಂದು ಹೆಸರು.

A ∩ B

ಇದನ್ನು A ∩ B ಎಂಬುದಾಗಿ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅಂದರೆ ಈ ಎರಡೂ ಘಟನೆಗಳೂ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸಬೇಕು. ಮೇಲಿನ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ A ಮತ್ತು B ಗಳಿಗೆ ಸಂವಾದಿಯಾದ ಪ್ರದೇಶದ ಛೇದ ಕ್ಷೇತ್ರ ಇದನ್ನು ಸೂಚಿಸುವುದು ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ.

A ∪ B

A, B ಘಟನೆಗಳ ಪೈಕಿ ಒಂದಾದರೂ ಘಟಿಸುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು A, B ಗಳ ಸಂಯೋಗ (ಯೂನಿಯನ್) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನು A ∪ B ಎಂಬುದಾಗಿ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. A ಮತ್ತು B ಪ್ರದೇಶಗಳೆರಡನ್ನೂ ಒಳಗೊಂಡ ಪ್ರದೇಶ A ∪ B ಯನ್ನು ಪ್ರತಿನಿಧಿಸುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಏಕಕಾಲದಲ್ಲಿ A, B ಘಟನೆಗಳೆರಡೂ ಘಟಿಸುವುದು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ ಆ ಘಟನೆಗಳನ್ನು ವಿಯುತ (ಡಿಸ್‌ಜಾಯಿಂಟ್) ಅಥವಾ ಪರಸ್ಪರ ಹೊರತಾದವು (ಮ್ಯೂಚುವಲಿ ಎಕ್ಸ್‌ಕ್ಲೂಸಿವ್) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಈ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ A, B ಗಳ ಛೇದನ ಅಲಭ್ಯವಾಗುವುದು. ಹೀಗೆ ಅಲಭ್ಯವಾಗುವ ಅಥವಾ ಅಸ್ತಿತ್ವ ಇಲ್ಲದಿರುವ ಘಟನೆಗೆ ಅಸಾಧ್ಯ ಘಟನೆ (ಇಂಪಾಸಿಬಲ್ ಈವೆಂಟ್) ಎಂದು ಹೆಸರು ಇದನ್ನು Ɛ ಎಂಬ ಪ್ರತೀಕದಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆಗ A ∩ B ಪ್ರದೇಶದಲ್ಲಿ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದು ಇರುವುದಿಲ್ಲ. ಅಂದರೆ ಆ ಪ್ರದೇಶ ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುತ್ತದೆ. ಅಂಥ ಗಣಕ್ಕೆ ಶೂನ್ಯಗಣ (ನಲ್ ಸೆಟ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಇದನ್ನು ∅ ಪ್ರತೀಕಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗೆ A ∩ B = ∅. ಇದರಂತೆಯೇ A ∩ Ā = ∅ ಮತ್ತು A, B ಗಳ ಸಂಯೋಗ ಈ ಕ್ಷೇತ್ರಗಳ ಒಟ್ಟಾರೆ ಆಗುವುದು. ಆಗ A ∪ B ಸಂಯೋಗವನ್ನು A + B ಎಂಬ ಪ್ರತೀಕದಿಂದ ಸೂಚಿಸುವುದು ಕೂಡ ಉಂಟು. ಇದರ ಮೇರೆಗೆ A + Ā = U, ವಿಶ್ವಗಣ.

A ∩ B ∩ C

ಮೇಲೆ ಹೇಳಿದ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಗಳನ್ನೂ ಪ್ರತೀಕಗಳನ್ನೂ ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಿನ ಘಟನೆಗಳಿಗೆ ಕೂಡ ಅನ್ವಯಿಸಬಹುದು. ಹೇಗೆಂದರೆ A, B, ಮತ್ತು C ಮೂರು ಘಟನೆಗಳಾದರೆ ಇವು ಮೂರಕ್ಕೂ ಸಾಮಾನ್ಯವಾದ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ಅಂದರೆ A ∩ B ∩ C ಯನ್ನು A, B, C ಗಳ ಛೇದನ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.

ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ A, B, C ಗಳನ್ನು ವೃತ್ತದಿಂದ ಸೂಚಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಕೆಂಪು ಬಣ್ಣದ ಕ್ಷೇತ್ರ ಛೇದವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಹೀಗೆಯೇ A₁, A₂ …… A_n ಎಂಬ n ಘಟನೆಗಳಿದ್ದರೆ ಅವುಗಳ ಛೇದನವನ್ನು A₁ ∩ A₂ ∩... ∩ A_n ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನೇ $\bigcap _{i=1}^n{A}_i$ ಎಂದೂ ಬರೆಯುವುದುಂಟು. ಇದೇ ರೀತಿ A₁, A₂ …… A_n ಗಳ ಸಂಯೋಗವನ್ನು A₁ ∪ A₂ ∪... ∪ A_n ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದನ್ನೇ $\bigcup _{i=1}^n{A}_i$ ಎಂದೂ ಬರೆಯುವುದುಂಟು.

ಘಟನೆಗಳ ಸಂಯೋಗ ಮತ್ತು ಛೇದನಕ್ಕೆ ಸಂಬಂಧಿಸಿದ ಪ್ರಮೇಯಗಳು ಗಣ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಪ್ರಮೇಯಗಳೇ ಆಗಿವೆ.

ಘಟನೆಗಳ ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಸಂಭಾವ್ಯತೆ

ಘಟನೆಗಳ ಗಣಿತವನ್ನು ಆಧಾರವಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ಸಂಭಾವ್ಯತೆಯ (ಪ್ರಾಬೆಬಿಲಿಟಿ) ಗಣಿತವನ್ನು ಅಭ್ಯಾಸ ಮಾಡುವುದು ಈಚೆಗೆ ರೂಢಿಯಾಗಿದೆ. ನಮೂದಿಸಿದ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ಘಟನೆ, ಅದು ಸರಳ ಘಟನೆಯೇ ಆಗಿರಲಿ ಸಂಯುಕ್ತ ಘಟನೆಯೇ ಆಗಿರಲಿ, ಒಂದು ದತ್ತ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸತಕ್ಕ ಸಮಸ್ತ ಘಟನೆಗಳು U ಎಂಬ ವಿಶ್ವದ ಒಂದು ದತ್ತ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ ಸಂಭವಿಸತಕ್ಕ ಸಮಸ್ತ ಘಟನೆಗಳ U ಎಂಬ ವಿಶ್ವದ ಒಂದು ಉಪಗಣವಾಗಿರುವುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈಗ U ವಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿಗೂ ಇಲ್ಲವೆ ಮೂಲಾಂಗ ಪ್ರದೇಶಕ್ಕೂ ಅನೃಣವಾದ ಒಂದು ಭಾರವನ್ನು ನಿಗದಿ ಮಾಡೋಣ. ಇಂಥ ಭಾರಗಳ ಒಟ್ಟು ಮೊತ್ತ 1 ಇರತಕ್ಕದ್ದು. ಇದರಿಂದಾಗಿ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವಿಗೂ ಅಂದರೆ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸರಳ ಘಟನೆಗೂ ಒಂದು ಕ್ಲುಪ್ತವಾದ ಭಾರವನ್ನು ಲಗತ್ತಿಸಿದಂತಾಯಿತು. ಒಂದು ಸಂಯುಕ್ತ ಘಟನೆಯ ಭಾರ ಅದರಲ್ಲಿ ಸೇರ್ಪಡೆಯಾದ ಎಲ್ಲ ಸರಳ ಘಟನೆಗಳ ಭಾರಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗುವುದು. ಅಂದರೆ ನಿರ್ದಿಷ್ಟವಾದ A ಎಂಬ ಘಟನೆಯ ಭಾರ ಅದರಲ್ಲಿ ಸೇರ್ಪಡೆಯಾದ ಎಲ್ಲ ಸರಳ ಘಟನೆಗಳ ಭಾರಗಳ ಮೊತ್ತವಾಗುವುದು. ಈ ಮೊತ್ತಕ್ಕೆ A ಘಟನೆಯ ಅಳವು (ಮೆಶರ್) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. A ಘಟನೆಯ ಅಳವನ್ನೇ A ಯ ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ಅಳವು (ಪ್ರಾಬೆಬಲಿಟಿ ಮೆಶರ್) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ಅಳವನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುವ ಕ್ರಮ ಸಂದರ್ಭಕ್ಕೆ ತಕ್ಕಂತೆ ಬದಲಾಗುತ್ತದೆ. ನಮಗೆ ವೇದ್ಯವಾಗಿರುವ ವಿವರಗಳನ್ನು ಪರ್ಯಾಲೋಚಿಸಿ ತಕ್ಕ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಭಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕಾದೀತು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಒಂದು ಷಣ್ಮುಖ ದಾಳವನ್ನು ತೂರಿದಾಗ, ಅದು ಸಹಜವಾದ ಸಮಾಂಗವಾದ ಪ್ರಾಮಾಣಿಕವಾದ ಹಾಗೂ ಚೊಕ್ಕ ದಾಳವೆಂಬುದರಲ್ಲಿ ಯಾವ ಸಂಶಯವೂ ಇಲ್ಲದಿದ್ದರೆ, ಅದರ 6 ಮುಖಗಳಿಗೂ ಸಮಾನ ಭಾರಗಳನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸಬೇಕೆಂಬುದು ತರ್ಕಸಮ್ಮತವಾದದ್ದು ಎಂಬುದನ್ನು ಎಲ್ಲರೂ ಒಪ್ಪುವರು. ಆಗ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಮುಖಕ್ಕೂ 1/6 ಎಂಬ ಭಾರವನ್ನು ನೀಡುತ್ತೇವೆ. ಭಾರಗಳ ಮೊತ್ತ 1 ಇರತಕ್ಕದ್ದೆಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿನಲ್ಲಿಡಬೇಕು. ‘ಗರ 4 ಬೀಳುತ್ತದೆ’ ಎಂಬ ಘಟನೆಯ ಸಂಭಾವ್ಯತೆ 1/6 ಆಗುವುದು. ‘ಗರ ಸರಿಸಂಖ್ಯೆಯಾಗಿರುವುದು` ಎಂಬ (ಸಂಯುಕ್ತ) ಘಟನೆಯ ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ಅಳವು 1/6 ಎಂಬ ಪರಸ್ಪರ ಹೊರತಾದ ಮೂರು ಸರಳ ಘಟನೆಗಳನ್ನಾಗಿ ವಿಭಜಿಸಬಹುದು. ಅಂದರೆ, ಪ್ರತೀಕಾತ್ಮಕವಾಗಿ

[ಸರಿ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಗರ] = [ಗರ 2] ∪ [ಗರ 4] ∪ [ಗರ 6]

ದತ್ತದಾಳ ಚೊಕ್ಕದಾಳವಿಲ್ಲದಿದ್ದಾಗ ಎಲ್ಲ ಮುಖಕ್ಕೂ ಸಮಾನ ಭಾರವನ್ನು ನಿಯೋಜಿಸುವುದು ಸಾಧುವಲ್ಲ. ಆಗ ನಮಗೆ ತಿಳಿದ ಮಾಹಿತಿಗಳ ಆಧಾರದ ಮೇಲೆ ವಿವೇಚನೆ ಮಾಡಿ ಈ ಭಾರಗಳನ್ನು ನಿರ್ಧರಿಸಬೇಕು. A ಎಂಬ ಘಟನೆಯ ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ಅಳವನ್ನು P(A) ಎಂದು ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತೇವೆ.

ಒಂದು ರಾಜ್ಯದ ಮುಖ್ಯಮಂತ್ರಿಯ ಸ್ಥಾನಕ್ಕೆ ಆದಪ್ಪ, ಭೀಮಪ್ಪ, ಚಾಮಪ್ಪ ಎಂಬ ಮೂವರು ಸ್ಪರ್ಧಿಸುತ್ತಾರೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಆದಪ್ಪ ಮತ್ತು ಭೀಮಪ್ಪ ಎಂಬುವರು ಸ್ಫರ್ಧೆಯಲ್ಲಿ ಗೆಲ್ಲುವ ಪ್ರಾಯಿಕತೆ (ಲೈಕ್‌ಲೀಹುಡ್) ಸಮಾನವಾಗಿದ್ದು ಚಾಮಪ್ಪ ಗೆಲ್ಲುವ ಪ್ರಾಯಿಕತೆ ಆದಪ್ಪ ಅಥವಾ ಭೀಮಪ್ಪನದಕ್ಕಿಂತ ಇಮ್ಮಡಿ ಇರುವುದೆಂದು ನಮ್ಮ ಊಹೆ ಆಗಿರಲಿ. ಈ ನಿರೂಪಣೆಯಲ್ಲಿ ಸ್ವಲ್ಪ ಅನಿಶ್ಚಿತತೆ ಉಂಟು. ನಮ್ಮ ಊಹೆಯ ಮೇರೆಗೆ ಆದಪ್ಪನ ವಿಜಯಕ್ಕೆ ¼, ಭೀಮಪ್ಪನ ವಿಜಯಕ್ಕೆ ¼ ಮತ್ತು ಚಾಮಪ್ಪನ ವಿಜಯಕ್ಕೆ ½ ಎಂಬ ಭಾರಗಳನ್ನು ನೀಡುವುದು ಉಚಿತವೆಂದು ಕಾಣುತ್ತದೆ. ಈ ಭಾರಗಳ ಮೊತ್ತ = 1. ಇಷ್ಟು ಹೇಳಿದ ಮೇಲೆ ಆದಪ್ಪ ಇಲ್ಲವೇ ಭೀಮಪ್ಪ ಇವರಿಬ್ಬರಲ್ಲಿ ಯಾರಾದರೊಬ್ಬರು ಜಯ ಗಳಿಸುವ ಘಟನೆಯ ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ಅಳವು ¼ + ¼ = ½ ಆಗುವುದು. ಹಾಗೂ ಆದಪ್ಪ ಆಥವಾ ಚಾಮಪ್ಪ ಜಯಗಳಿಸುವ ಸಂಭಾವ್ಯತೆ ¼ + ½ = ¾ ಆಗುವುದು. ಆದಪ್ಪನ ವಿಜಯವನ್ನು A ಎಂದೂ, ಭೀಮಪ್ಪನ ವಿಜಯವನ್ನು B ಎಂದೂ, ಚಾಮಪ್ಪನ ವಿಜಯವನ್ನು C ಎಂದೂ ಸೂಚಿಸಿದರೆ

P(A) = P(B) = ¼

P(C) = ½

ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ವಿವಿಧ ಘಟನೆಗಳಿಗೆ ನೀಡತಕ್ಕ ಭಾರಗಳನ್ನು ನಿಗದಿ ಮಾಡಿದ್ದೇವೆ ಎಂದರೆ, ಮುಂದಿನ ಲೆಕ್ಕಾಚಾರವನ್ನು ಮಾಡಲು ಘಟನೆಗಳ ಗಣಿತವನ್ನು ಪ್ರಯುಕ್ತಿಸುತ್ತೇವೆ. ಕೆಲವೊಂದು ಘಟನೆಗಳಿಗೆ ನೀಡುವ ಭಾರ 0 ಆಗಿರಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು. ಋಣವಾಗಿರಲಾರದು ಎಂಬ ನಿರ್ಬಂಧ ಮಾತ್ರ ಉಂಟು.

ಸಂಭಾವ್ಯತಾ ಅಳವಿನ ಮುಖ್ಯ ಗುಣಲಕ್ಷಣಗಳನ್ನೂ, ಅನುಗುಣವಾದ ಕೆಲವು ಪ್ರಮೇಯಗಳನ್ನೂ ಇಲ್ಲಿ ಕೊಡುತ್ತೇವೆ. ಪ್ರತಿ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲೂ ಘಟನೆಗಳ ವಿಶ್ವವನ್ನು U ಎಂದು ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ.

1. A ಎಂಬುದು U ಗೆ ಸೇರ್ಪಡೆಯಾದ ಯಾವುದೇ ಘಟನೆಯಾಗಿದ್ದರೆ, ಅಂದರೆ A ⊆ U ಆದಾಗ, ಆಗಿದ್ದರೆ 0 ≤ P(A) ≤ 1
2. A = U ಆಗಿದ್ದರೆ P(A) = 1 ಅಂದರೆ P(U) = 1 ಮತ್ತು A ∉ U ಆದಾಗ P(A) = 0
3. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B). ಈ ಫಲಿತಾಂಶವನ್ನು 3 ಅಥವಾ ಹೆಚ್ಚಿನ ಘಟನೆಗಳಿಗೆ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C ) - P(A ∩ B) - P(B ∩ C) - P(A ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C) ಇತ್ಯಾದಿ.
4. ಈ ಫಲಿತದ ವಿಶಿಷ್ಟ ರೂಪ: A, B ಎರಡು ವಿಯುತ ಘಟನೆಗಳಾದರೆ P(A ∪ B) = P(A + B) = P(A) + P(B). ಇದಕ್ಕೆ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಯ ಸಂಕಲನನಿಯಮ ಎಂದು ಹೆಸರು.
5. P(A) + P(Ā) = 1. ಘಟನೆ A ಮತ್ತು Ā ಇವೆರಡೂ ವಿಯುತವಾದ್ದರಿಂದ ಮತ್ತು A + Ā = U ಆದ್ದರಿಂದ ಇದು ನಾಲ್ಕನೆಯ ನಿಯಮದ ವಿಶಿಷ್ಟ ರೂಪವಾಗುವುದು. ಕೆಲವು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲಿ P(Ā) ಎಂಬುದರ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ಪರಿಗಣಿಸಬಹುದು. ಆ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ P(A) = 1 – P(Ā) ಎಂಬ ಸಾಮ್ಯವನ್ನು ಬಳಸಿಕೊಂಡು P(A) ಯ ಬೆಲೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕುತ್ತೇವೆ.
6. є ಎಂಬುದು ಅಸಾಧ್ಯವಾದ ಘಟನೆಯಾದರೆ $\overline{ϵ}=U$ಮತ್ತು $ϵ=\bar{U}$ ಆಗುವುದು. ಆದ್ದರಿಂದ P(є) = 1 – P(U) = 0
7. ಪ್ರಮೇಯ: A ⊆ B ಆದಾಗ P(A) ≤ P(B). A ಯಲ್ಲಿ ಸೇರ್ಪಡೆಯಾಗದ, B ಯ ಭಾಗವನ್ನು C ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ. ಆಗ A ಮತ್ತು C ವಿಯುತ ಘಟನೆಗಳಾಗುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ B = A + C. .: P(B) = P(A + C) = P(A) + P(C). ಆದರೆ ಮೇಲಿನ ಫಲಿತಾಂಶ (2) ರಿಂದ P(C) ≥ 0 ಆದ್ದರಿಂದ P(B) ≥ P(A) ಎಂದು ಸಿದ್ಧವಾಗುತ್ತದೆ.
8. ಮೇಲೆ ಫಲಿತಾಂಶ (3)ರಲ್ಲಿ P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) ಎಂದು ತೋರಿಸಿದ್ದೇವೆ. ಇದನ್ನು P(A ∪ B) ≤ P(A) + P(B) ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಇದನ್ನು ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಿಸಲು P(A₁ U A₂ U A₃.... U A_k) ≤ P(A₁) + P(A₂) +.... + P(A_k) ಘಟನೆಗಳೆಲ್ಲ ವಿಯುತವಾಗಿದ್ದಾಗ ಸಾಮ್ಯವನ್ನು ಸ್ವೀಕರಿಸಬೇಕು.

ವಿಧೇಯ ಸಂಭಾವ್ಯತೆ

ಒಂದು ಯತ್ನದ ಫಲವಾಗಿ A ಘಟನೆ ಸಂಭವಿಸಿದೆ ಅಥವಾ ಸಂಭವಿಸಿಲ್ಲ ಎಂದು ಹೇಳಲು ಸಾಧ್ಯವಿದ್ದು, ಒಟ್ಟು n ಯತ್ನಗಳಲ್ಲಿ A ಘಟನೆ a ಬಾರಿ ಸಂಭವಿಸಿದರೆ, A ಯ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಆವೃತ್ತಿ (relative frequency) a/n ಆಗುವುದು. ಇದನ್ನು f(A) ಎಂದು ಪ್ರತೀಕರಿಸುತ್ತೇವೆ; ಅಂದರೆ f(A) = a/n. n ನ ಬೆಲೆ ಹೆಚ್ಚಿದಾಗಲೆಲ್ಲಾ f(A) ಯ ಬೆಲೆ ಡೋಲಾಯಮಾನವಾಗುತ್ತದೆ. n ಅನಂತಕ್ಕೆ ಅಪಹರಿಸಿದರೆ f(A) ಒಂದು ಸ್ತಿಮಿತ ಬೆಲೆಗೆ ಅಭಿಸರಿಸುತ್ತದೆ. ಈ ನಿಯತ ಬೆಲೆಗೆ a ಘಟನೆಯ ಸಂಭಾವ್ಯತೆ ಎಂದು ಹೆಸರು.

A ಘಟನೆ ಸಂಭವಿಸಿರುವ ಒಟ್ಟು a ಸಂದರ್ಭಗಳ ಪೈಕಿ r ಬಾರಿ B ಎಂಬ ಮತ್ತೊಂದು ಘಟನೆ ಸಂಭವಿಸುತ್ತದೆ ಎನ್ನೋಣ. ಅಂದರೆ, A ಎಂಬುದು ಘಟಿಸಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಾಗ B ಘಟನೆಯ ಸಾಪೇಕ್ಷ ಆವೃತ್ತಿ r/a ಆಗುತ್ತದೆ. ಇದನ್ನು f(B/A) ಎಂಬ ಪ್ರತೀಕದಿಂದ ಸೂಚಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅಂದರೆ, $f(B/A)=\frac{r}{a}=\frac{r}{n}÷\frac{a}{n}=f(B\cap A)/f(A)$. ಇಲ್ಲಿ a ≠ 0 ಎಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗಿದೆ. ಈ ನಿಯಮ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಗೂ ಅನ್ವಯಿಸುತ್ತದೆಂದು ಭಾವಿಸುತ್ತೇವೆ.

A ಘಟಿಸಿದೆ ಎಂದಾಗ B ಎಂಬ ಮತ್ತೊಂದು ಘಟನೆಯ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಯನ್ನು P(B ∩ A) ÷ P(A) ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುತ್ತೇವೆ. P(A) ≠ 0. ಈ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಯನ್ನು P(B/A) ಎಂದು ಪ್ರತೀಕಿಸುತ್ತೇವೆ. ಆಗ

$P(B/A)=\frac{P(B\cap A)}{P(A)},P(A)\ne 0$ಎಂದು ಬರೆಯಬಹುದು. ಇದಕ್ಕೆ A ಘಟಿಸಿದಾಗ B ಯ ವಿಧೇಯ ಸಂಭಾವ್ಯತೆ ಅಥವಾ ನಿರ್ಬಂಧಿತ ಸಂಭಾವ್ಯತೆ (ಕಂಡಿಷನಲ್ ಪ್ರಾಬೆಬಿಲಿಟಿ) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಮೇಲಿನ ಸಾಮ್ಯವನ್ನು P(B ∩ A) = P(B/A).P(A) ಎಂದೂ ಬರೆಯಬಹುದು. ಇದರಂತೆಯೇ $P(A/B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},P(B)\ne 0$

ಮತ್ತು P(A ∩ B) = P(A/B).P(B) ಎಂಬ ಸಾಮ್ಯಗಳು ದೊರೆಯುತ್ತವೆ.

A ಘಟನೆ ಒದಗಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಾಗ B ಒದಗಿದೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಿರಲಿ ಇಲ್ಲವೆ ತಿಳಿಯದಿರಲಿ. ಈ ಎರಡು ಸಂದರ್ಭಗಳಲ್ಲೂ B ಘಟಿಸುವ ಆವೃತ್ತಿ ಸಂಖ್ಯೆ ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆ A ಮತ್ತು B ಘಟನೆಗಳೆರಡೂ ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಟನೆಗಳು ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಆಗ P(B/A) ಮತ್ತು P(B) ಎರಡೂ ಸಮವಾಗಿರುತ್ತವೆ. ಈ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ

P(A ∩ B) = P(A).P(B)

ಈ ಸಾಮ್ಯವನ್ನೇ ಆಧಾರವನ್ನಾಗಿಟ್ಟುಕೊಂಡು ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾದ ಘಟನೆಗಳ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೀಗೇ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ. ಅಂದರೆ P(A ∩ B) = P(A).P(B) ಆದಾಗ A, B ಘಟನೆಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರ ಘಟನೆಗಳೆನಿಸುವುವು. ಇದಕ್ಕೆ ಸಂಭಾವ್ಯತೆಯ ಗುಣನಿಯಮ (product rule) ಎಂದು ಹೆಸರು.

ಘಟನೆಗಳು ಎರಡಕ್ಕಿಂತ ಹೆಚ್ಚಾಗಿದ್ದರೆ ಪರಿಸ್ಥಿತಿ ಜಟಿಲವಾಗುವುದು. ಪ್ರತಿ ಜೊತೆ ಘಟನೆಗಳೂ ಪರಸ್ಪರ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿರಬೇಕು. ಅಂದರೆ

P(A ∩ B) = P(A).P(B); P(B ∩ C) = P(B).P(C); P(A ∩ C) = P(A).P(C)

ಇದಲ್ಲದೆ P(A ∩ B ∩ C) = P(A).P(B).P(C) ಎಂಬ ಸಾಮ್ಯವೂ ತಾಳೆ ಬೀಳಬೇಕು. ಇವಿಷ್ಟೂ ನಿಬಂಧನೆಗಳು ಪಾಲಿತವಾದರೆ A, B, C ಘಟನೆಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರವಾದವು ಎನಿಸುವುವು. ಈ ಘಟನೆಗಳು ಜೊತೆಜೊತೆಯಾಗಿ ಸ್ವತಂತ್ರವಾಗಿದ್ದು ಆದರೆ ಕೊನೆಯ ನಿಬಂಧನೆ ಪಾಲಿತವಾಗದಿರಬಹುದು. ಆಗ ಘಟನೆಗಳು ಸ್ವತಂತ್ರವಾದವು ಎನಿಸುವುದಿಲ್ಲ; ಇಂಥ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಗಳು ಎಷ್ಟೋ ಇರುತ್ತವೆ.

ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ

• Olofsson, Peter (2005) Probability, Statistics, and Stochastic Processes, Wiley-Interscience. 504 pp ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Isbn

ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು

• ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Springer
• Formal definition in the Mizar system.
• Virtual Laboratories in Probability and Statistics (Univ. of Ala.-Huntsville)* ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:In Our Time
• Probability and Statistics EBook
• Edwin Thompson Jaynes. Probability Theory: The Logic of Science. Preprint: Washington University, (1996). – HTML index with links to PostScript files and PDF (first three chapters)
• People from the History of Probability and Statistics (Univ. of Southampton)