ಗೋಳ

ಗೋಳ ಎಂದರೆ ಅರ್ಧವೃತ್ತವನ್ನು ಅದರ ವ್ಯಾಸದ ಸುತ್ತ ಪರಿಭ್ರಮಿಸಿದಾಗ ದೊರೆಯುವ ಆಕೃತಿ (sphere). ಪರ್ಯಾಯವಾಗಿ ಅಂತಸ್ಥ ಸ್ಥಿರಬಿಂದುವೊಂದರಿಂದ ಸ್ಥಿರ ದೂರದಲ್ಲಿರುವ ಸಕಲ ಬಿಂದುಗಳೂ ನೆಲೆಸಿರುವ ಮೇಲ್ಮೈ. ಚಿತ್ರ (1)ರಲ್ಲಿ ೦ ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದು. OA=OB=OC=...=OH=r (ಸ್ಥಿರಾಂಕ) ಆಗಿರುವಂತೆ, ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳಲ್ಲಿ A ಯಿಂದ F ವರೆಗಿನ ಕೆಲವು ಪ್ರರೂಪೀ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಗುರುತಿಸಿದೆ. ಇಂಥ ಸಮಸ್ತ ಬಿಂದುಗಳೂ ನೆಲೆಸಿ ರಚಿಸುವ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಸಂವೃತಾಕೃತಿಯೇ ಗೋಳ. ಸ್ಥಿರ ಬಿಂದುವಿನ (0) ಹೆಸರು ಕೇಂದ್ರ ; ಸ್ಥಿರ ದೂರದ (r) ಹೆಸರು ತ್ರಿಜ್ಯ.

ಚಿತ್ರ ೧

ಒಂದು ಗೋಳ ಘನವಾಗಿರಬಹುದು (ಸಾಲಿಡ್) ಇಲ್ಲವೇ ಟೊಳ್ಳಾಗಿರಬಹುದು (ಹಾಲೋ). ಘನಗೋಳವನ್ನು ಅಸಂಖ್ಯಾತ ಏಕಕೇಂದ್ರಿಯ ಟೊಳ್ಳು ಗೋಳಗಳ ಸಂಕಲನ ಎಂದು ಭಾವಿಸುವ ಸಾಧ್ಯತೆ ಉಂಟು. ಟೊಳ್ಳುಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈಯನ್ನು ತೆಗೆದರೆ ಉಳಿಯುವುದು ಕೇಂದ್ರ ಬಿಂದು ಮಾತ್ರ. r ತ್ರಿಜ್ಯವಿರುವ ಒಂದು ಗೋಳದ ಘನಗಾತ್ರ $\frac{4}{3}\pi r^3$. ಅದರ ಮೇಲ್ಮೈಯ ಸಲೆ $4\pi r^2$. ಅನ್ಯಥಾ ಹೇಳದಿದ್ದರೆ ಇನ್ನು ಮುಂದಕ್ಕೆ ಗೋಳವೆಂದಾಗ ಘನಗೋಳವೆಂದು ಭಾವಿಸಬೇಕು.

ಚಿತ್ರ ೨

ಗೋಳದ ಸಮೀಕರಣ

ಕೇಂದ್ರವನ್ನು (o) ಮೂಲಬಿಂದುವಾಗಿಯೂ ಅದರ ಮೂಲಕ ಸಾಗುವ ಯಾವುದೇ ಮೂರು ಪರಸ್ಪರ ಲಂಬರೇಖೆಗಳನ್ನು ಅಕ್ಷಗಳಾಗಿಯೂ ಆಯಬೇಕು. ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಚರಬಿಂದು P ಯ ನಿರ್ದೇಶಕಗಳು (x, y, z) ಆಗಿರಲಿ.OP = r (ಸ್ಥಿರಾಂಕ, ತ್ರಿಜ್ಯ) ಆಗಿರುವುದರಿಂದ P ಯ ಪಥದ ಸಮೀಕರಣ $x^2+y^2+z^2=r^2$ ಎಂದಾಗುವುದು. ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈ ಮೇಲಿನ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಬಿಂದುವೂ ಈ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸುವುದರಿಂದ, ಬೇರೆ ಯಾವ ಬಿಂದುವೂ ಇದನ್ನು ತೃಪ್ತಿಪಡಿಸದಿರುವುದರಿಂದ, ಇದೇ ಗೋಳದ ಸಮೀಕರಣ. ಕೇಂದ್ರಬಿಂದು C (g,f,h) ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ ಈ ಗೋಳದ ಸಮೀಕರಣ $(x-g{)}^2+(y-f{)}^2+(z-h{)}^2=r^2$

$x^2+y^2+z^2-2gx-2fy-2hz+g^2+f^2+h^2-r^2=0$ ಎಂದಾಗುವುದು. ಇದರ ಅಧ್ಯಯನದಿಂದ ತಿಳಿಯುವ ಸಂಗತಿಗಳಿಷ್ಟು : ಇದೊಂದು x, y, z ಚರಗಳಲ್ಲಿನ ದ್ವಿಘಾತೀಯ ಸಮೀಕರಣ ; ಇದರಲ್ಲಿ xy,yz,zx ಪದಗಳ ಗುಣಾಂಶಗಳು ಶೂನ್ಯ ; ಮತ್ತು$x^2+y^2+z^2$ ಪದಗಳ ಗುಣಾಂಕಗಳು ಸಮವಾಗಿವೆ. ವಿಲೋಮವಾಗಿ, ಈ ಗುಣಗಳನ್ನು ಪಡೆದಿರುವ x, y, z ಗಳಲ್ಲಿನ ಯಾವುದೇ ದ್ವಿಘಾತೀಯ ಸಮೀಕರಣ ಒಂದು ಗೋಳವನ್ನು ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ ಎಂದು ಸಾಧಿಸಬಹುದು.

ಚಿತ್ರ ೩

ಸಮತಲ ಮತ್ತು ಗೋಳ

ಆಕಾಶದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಸಮತಲ ಹಾಗೂ ಒಂದು ಗೋಳವನ್ನು ಪರಿಶೀಲಿಸಿದರೆ ಈ ಕೆಳಗಿನ ಮೂರು ಸಾಧ್ಯತೆಗಳು ಇವೆ - ತಲ ಗೋಳವನ್ನು ಛೇದಿಸುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲವೆ ಸ್ಪರ್ಶಿಸುತ್ತದೆ, ಇಲ್ಲವೇ ಛೇದಿಸುವುದಿಲ್ಲ. ಮೊದಲಿನ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ತಲ ಮತ್ತು ಗೋಳಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಕ್ರರೇಖೆ ಒಂದು ವೃತ್ತ; ಎರಡನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಈ ವೃತ್ತ ಬಿಂದು (ಸ್ಪರ್ಶಬಿಂದು) ಆಗುತ್ತದೆ ; ಮೂರನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಇದು ಕಾಲ್ಪನಿಕವಾಗಿದೆ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. S $\equiv$ $x^2+y^2+z^2+2gx+2fy+2hz+c=0$ ಗೋಳದ ಸಮೀಕರಣವು P $\equiv$ $lx+my+nz+1=0$ ಸಮತಲದ ಸಮೀಕರಣವೂ ಆಗಿದ್ದರೆ ಇವುಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯ ವಕ್ರರೇಖೆಯ (ವೃತ್ತದ) ಸಮೀಕರಣ ಇವೆರಡನ್ನೂ ಒಟ್ಟಿಗೆ ಪರಿಶೀಲಿಸುವುದರಿಂದ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ: S = 0 P = 0

ಗೋಳವನ್ನು ಸಮತಲ ಸ್ಪರ್ಶಿಸಿದಾಗ ಅದಕ್ಕೆ ಗೋಳದ ಸ್ಪರ್ಶಕ ಸಮತಲವೆಂದು ಹೆಸರು. ಗೋಳವನ್ನು ಸಮತಲ ಛೇದಿಸುವಾಗ ಲಭಿಸುವ ವೃತ್ತಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡು ವರ್ಗದವು ಇವೆ. ಗೋಳಕೇಂದ್ರ ವೃತ್ತಕೇಂದ್ರವೂ ಆಗಿರುವಂಥ ವೃತ್ತಗಳು - ಇವು ಮಹಾವೃತ್ತಗಳು;

ಚಿತ್ರ ೪

ವೃತ್ತಕೇಂದ್ರ ಗೋಳಕೇಂದ್ರದಿಂದ ಭಿನ್ನವಾಗಿರುವಂಥ ವೃತ್ತಗಳು - ಇವು ಅಲ್ಪ ವೃತ್ತಗಳು. ಒಂದು ಗೋಳದಲ್ಲಿ ದೊರೆಯುವ ಒಂದೊಂದು ವರ್ಗದ ವೃತ್ತಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯೂ ಅನಂತ. ಎಲ್ಲ ಮಹಾವೃತ್ತಗಳ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳೂ ಗೋಳತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕೆ ಸಮ. ಎಲ್ಲ ಅಲ್ಪವೃತ್ತಗಳ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳೂ ಗೋಳ ತ್ರಿಜ್ಯಕ್ಕಿಂತ ಕಡಿಮೆ.

ಚಿತ್ರ ೫

ಸರಳರೇಖೆ ಮತ್ತು ಗೋಳ

ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆ ಒಂದು ಗೋಳವನ್ನು ಎರಡು ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಬಲ್ಲದು ; ಇಲ್ಲವೇ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಸ್ಪರ್ಶಿಸಬಲ್ಲದು; ಇಲ್ಲವೇ ಛೇದಿಸದಿರಬಲ್ಲದು. ಎರಡನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಆ ರೇಖೆಗೆ ಸ್ಪರ್ಶಕರೇಖೆ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಗೋಳಕೇಂದ್ರದ ಮೂಲಕ ಸಾಗುವ ಎಲ್ಲ ಸರಳರೇಖೆಗಳೂ ಗೋಳದ ವ್ಯಾಸಗಳು. ರೂಢಿಯಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಸವೆಂದರೆ ಗೋಳದ ಕೇಂದ್ರದ ಮೂಲಕ ಸಾಗಿ ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈಯಿಂದ ಸೀಮಿತವಾದ ಪರಿಮಿತ ರೇಖೆ ಎಂದು ಅರ್ಥ; ಇದರ ಉದ್ದ ತ್ರಿಜ್ಯದ ಎರಡರಷ್ಟು.

ಚಿತ ೬ ಮತ್ತು ೭

ಮಹಾವೃತ್ತ

ಯಾವುದೇ ಮಹಾವೃತ್ತ ಗೋಳವನ್ನು ಎರಡು ಸಮಭಾಗಗಳಾಗಿ ವಿಭಾಗಿಸುತ್ತದೆ (ಇವು ಅರ್ಧಗೋಳಗಳು). $\sigma$ ಇಂಥ ಒಂದು ಮಹಾವೃತ್ತ. o ಇದರ ಕೇಂದ್ರ (ಗೋಳದ ಸಹ).AOB ವ್ಯಾಸ $\sigma$ ದ ತಲಕ್ಕೆ ಲಂಬವಾಗಿ ಎಳೆದ ವ್ಯಾಸ. ಇದಕ್ಕೆ ಮಹಾವೃತ್ತದ ಅಕ್ಷ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಆದ್ದರಿಂದ ಒಂದು ಮಹಾವೃತ್ತದ ತಲಕ್ಕೆ ಅದರ ಕೇಂದ್ರದ (ಗೋಳಕೇಂದ್ರದ) ಮೂಲಕ ಎಳೆದ ಸರಳರೇಖೆ ಆ ಮಹಾವೃತ್ತದ ಅಕ್ಷ ಎನಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು. ಈ ಅಕ್ಷದ ಎರಡು ಕೊನೆಗಳಿಗೆ (A, B) ಮಹಾವೃತ್ತದ ಧ್ರುವಗಳೆಂದು ಹೆಸರು. P ಯು $\sigma$ ದ ಮೇಲಿನ ಯಾವುದೇ ಬಿಂದು ಆಗಿದ್ದರೆ $\mathrm{\angle }AOP=\mathrm{\angle }BOP$ =90° ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಬೇಕು. $\sigma$ ಮಹಾವೃತ್ತಕ್ಕೆ ಸಮಾಂತರವಾಗಿರುವ ಎಲ್ಲ ಅಲ್ಪವೃತ್ತಗಳಿಗೂ AB ಯೇ ಅಕ್ಷ ಮತ್ತು A, B ಗಳೇ ಧ್ರುವಗಳು. ಇಂಥ ಒಂದು ಅಲ್ಪವೃತ್ತದ ಮೇಲೆ Q ಒಂದು ಬಿಂದುವಾಗಿದ್ದರೆ ಆಗ $\mathrm{\angle }AOQ\ne$ 90° ಎಂಬುದನ್ನು ಸಹ ಗಮನಿಸಬೇಕು.${\sigma }_1,{\sigma }_2,{\sigma }_3$, ಯಾವುದೇ ಮೂರು ಮಹಾವೃತ್ತಗಳಾಗಿರಲಿ (ಚಿತ್ರ 7 ರಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪಾರ್ಶ್ವವನ್ನು ಮಾತ್ರ ತೋರಿಸಿದೆ.) ಇವು ಗೋಳದ ಮೇಲ್ಮೈ ಮೇಲೆ ABC ಎನ್ನುವ ಸಾಮಾನ್ಯ ಪ್ರದೇಶವನ್ನು ರೂಪಿಸುತ್ತವೆ (ಚಿತ್ರ 7ರಲ್ಲಿ ನೆರಳು ಮಾಡಿದೆ). ಇದಕ್ಕೆ ಈ ಮಹಾವೃತ್ತಗಳು ರಚಿಸುವ ಗೋಳತ್ರಿಭುಜ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಇದರ ಹೆಚ್ಚಿನ ವಿವರಗಳಿಗೆ ಗೋಳತ್ರಿಕೋಣಮಿತಿ

ಗೋಳಖಂಡ

P ಸಮತಲ S ಗೋಳವನ್ನು ಯಾದೃಚ್ಛಿಕವಾಗಿ ಛೇದಿಸಿದಾಗ S1 ಮತ್ತು S2 ಎನ್ನುವ ಎರಡು ಗೋಳಖಂಡಗಳು ಲಭಿಸುತ್ತವೆ. ಈ ಒಂದೊಂದು ಖಂಡವನ್ನೂ ಗೋಳೀಯ ಟೊಪ್ಪಿಗೆ (ಸ್ಫೆರಿಕಲ್ ಕ್ಯಾಪ್) ಎಂದು ಕರೆಯುವುದುಂಟು.

ಚಿತ್ರ ೮

S1 ಟೊಪ್ಪಿಗೆಯ ಪಾದವೃತ್ತದ ($\sigma$) ತ್ರಿಜ್ಯ a (=CL) ಮತ್ತು ಎತ್ತರ h (=CA) ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ ಅದರ ಘನಗಾತ್ರ $\frac{\pi h}{6}$$(3a^2+h^2)$ ಮೇಲ್ಮೈಸಲೆ $\pi (a^2+h^2)$. h = 2r, a = 0 ಆದಾಗ ಟೊಪ್ಪಿಗೆ ಗೋಳವೇ ಆಗುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ ಮೇಲಿನ ಫಲಿತಾಂಶಗಳಿಂದ ಗೋಳದ ಗಾತ್ರ ಮತ್ತು ಮೇಲ್ಮೈಸಲೆ $4p{r}^2$ ಎಂಬುದನ್ನು ನಿಗಮಿಸಬಹುದು. h ಅಂತರದಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಜೊತೆ ಸಮಾಂತರ (${\sigma }_1,{\sigma }_2$) ತಲಗಳು ಗೋಳವನ್ನು ಛೇದಿಸಲಿ. ಈಗ ದೊರೆಯುವ ಟೊಪ್ಪಿಗೆಗಳ ಪಾದವೃತ್ತಗಳ ತ್ರಿಜ್ಯಗಳು $r_1,r_2$ ಆಗಿರಲಿ. ಟೊಪ್ಪಿಗೆಗಳನ್ನು ತೆಗೆದ ಬಳಿಕ ಉಳಿಯುವ ಗೋಳಖಂಡದ (S’) ಘನಗಾತ್ರ $\frac{\pi h}{6}$$(3r_1^2+3r_2^2+h^2)$

ಪಾದವೃತ್ತಗಳ ಸಲೆಗಳು$B_1(=pr{1}^2)$ ಮತ್ತು$B_2(=pr{2}^2)$ ಎಂಬುದಾಗಿಯೂ ಅವುಗಳ ನಡುವಿನ ಗೋಳಛೇದದ ($\sigma$ ವೃತ್ತ) ಸಲೆ M ಎಂಬು ದಾಗಿಯೂ ಭಾವಿಸಿದರೆ ಈ ಘನಗಾತ್ರದ ಬೆಲೆ $\frac{h}{6}$$B_1+4M+B_2$ ಆಗುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಪ್ರಿಸ್ಮಾಯಿಡಲ್ ಸೂತ್ರವೆಂದು ಹೆಸರು. h = 2r, ಎಂದರೆ h ಅಂತರ ಗೋಳದ ವ್ಯಾಸ ಆದಾಗ $r_1=r_2=o$ ಆಗುತ್ತವೆ ಮತ್ತು ಗೋಳಖಂಡ ಇಡೀ ಗೋಳವೇ ಆಗುತ್ತದೆ. ಆಗ ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರದಲ್ಲಿ$B_1=B_2=0$ಮತ್ತು $M=\pi r^2$ ಆಗುತ್ತವೆ; ಮತ್ತು ಸೂತ್ರದ ಬೆಲೆ ಗೋಳದ ಘನಗಾತ್ರವನ್ನು ಕೊಡುತ್ತದೆ. ಇದು ನಾವು ನಿರೀಕ್ಷಿಸುವಂತೆ, $\frac{2r}{6}$$4\pi r2$ = 4/3 $\pi r3$. ಆಗುತ್ತದೆ.

ಚಿತ್ರ ೯

ಬಾಹ್ಯ ಸಂಪರ್ಕಗಳು

• Sphere (PlanetMath.org website)
• ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:MathWorld
• Mathematica/Uniform Spherical Distribution
• ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Cite video (computer animation showing how the inside of a sphere can turn outside.)
• Program in C++ to draw a sphere using parametric equation
• Surface area of sphere proof.