ಕ್ರಮಗುಣಿತ

ಕೆಲವು ಆಯ್ದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ರಮಗುಣಿತ ಸರಣಿ ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:OEIS; ತುಂಬಾ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ವೈಜ್ಞಾನಿಕ ವಿಧಿಯಲ್ಲಿ ಬರೆಯಲಾಗಿದೆ.

n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Gaps
8	ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Gaps
9	ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Gaps
10	ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Gaps
11	ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Gaps
12	ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Gaps
13	ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Gaps
14	ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Gaps
15	ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Gaps
16	ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Gaps
17	ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Gaps
18	ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Gaps
19	ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Gaps
20	ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Gaps
25	ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Val
50	ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Val
70	ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Val
100	ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Val
450	ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Val
ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Gaps	ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Val
ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Gaps	ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Val
ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Gaps	ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Val
ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Gaps	ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Val
ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Gaps	ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Val
ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Gaps	ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Val
ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Gaps	ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Val
[[googol|ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Val]]	10ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Val

ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಗುಣಿತ(factorial) ಎಂಬುದು ಸಾಧಾರಣ ಬಳಕೆಯಲ್ಲಿರುವ ಒಂದು ಪರಿಕಲ್ಪನೆ. n ಎಂಬ ಒಂದು ಋಣಾತ್ಮಕವಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಸಂಖ್ಯೆಯ ಕ್ರಮಗುಣಿತ ಅಥವಾ n! ಹೀಗೆ ಕಂಡುಹಿಡಿಯುತ್ತೇವೆ.

$$\begin{array}{cc}n!& =n\times (n-1)\times (n-2)\times (n-3)\times \cdots \times 3\times 2\times 1\\ & =n\times (n-1)!\\ \end{array}$$

ಅಂದರೆ, n ಸಂಖ್ಯೆಯಿಂದ ಪ್ರಾರಂಭಿಸಿ ಒಂದನ್ನು ಕಳೆಯುತ್ತಾ ಕೊನೆಗೆ ಅಂಕಿ ಒಂದರವರೆಗೆ ಬರುವುದು. ಹೀಗೆ ಲಭ್ಯವಾದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಪರಸ್ಪರ ಗುಣಿಸುವುದು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ 5! ಕಂಡುಹಿಡಿಯಲು ಕೆಳಗಿನ ಲೆಕ್ಕ ನೋಡಿ.

$5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120.$

ಶೂನ್ಯದ ಕ್ರಮಗುಣಿತವನ್ನು 1 ಎಂದು ನಿರ್ಧರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಕ್ರಮಗುಣಿತ ಎಂಬ ಗಣಿತದ ಅನೇಕ ಪ್ರಕಾರಗಳಲ್ಲಿ ಉಪಯುಕ್ತ, ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಸಂಚಯ (combinatorics), ಬೀಜಗಣಿತ (algebra) ಮತ್ತು ಗಣಿತೀಯ ವಿಶ್ಲೇಷಣೆ (mathematical analysis). n ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಒಂದು ಸಾಲಿನಲ್ಲಿ n! ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದು ಎಂಬುದು ಇದಕ್ಕೆ ಹಿನ್ನೆಲೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಇಡ್ಲಿ, ದೋಸೆ, ವಡೆ ಎಂಬ ಮೂರು ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಸಾಲಾಗಿ 6 ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಜೋಡಿಸಬಹುದು (ಕೆಳಗೆ ನೋಡಿ). 6 = 3! ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಮೊದಲ ಸ್ಥಾನದಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಯಾವುದೇ ಮೂರು ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಕೂಡಿಸಬಹುದು. ಅನಂತರ ಉಳಿಯುವುದು 2 ವಸ್ತುಗಳು. ಕೊನೆಗೆ ಉಳಿಯುವುದು ಒಂದೇ ಒಂದು. ಹೀಗಾಗಿ ಪ್ರತಿ ಹೆಜ್ಜೆಯಲ್ಲೂ ನಮಗೆ ಇರುವ ಸಾಧ್ಯತೆಗಳು 3, 2, 1. ಒಟ್ಟು ಸಾಧ್ಯತೆಗಳು :$3\times 2\times 1=6$. ಇದನ್ನು ಕುರಿತು ಹನ್ನೆರಡನೇ ಶತಮಾನದ ಭಾರತೀಯ ಗಣಿತಜ್ಞರಿಗೆ ತಿಳಿದಿತ್ತು.. n! ಎಂಬ ಗಣಿತ ಸಂಜ್ಞೆಯನ್ನು ಮೊದಲು ಪ್ರಯೋಗಿಸಿದವನು ಕ್ರಿಶ್ಚಿಯನ್ ಕ್ರಾಂಪ್ ಎಂಬ ಫ್ರಾನ್ಸ್ ಮೂಲದ ಗಣಿತಜ್ಞ. (1808)

ಇಡ್ಲಿ -ದೋಸೆ -ವಡೆ

ಇಡ್ಲಿ - ವಡೆ - ದೋಸೆ

ದೋಸೆ - ಇಡ್ಲಿ -ವಡೆ

ದೋಸೆ - ವಡೆ - ಇಡ್ಲಿ

ವಡೆ - ಇಡ್ಲಿ -ದೋಸೆ

ವಡೆ - ದೋಸೆ - ಇಡ್ಲಿ

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ

'n! ಅಥವಾ n ಕ್ರಮಗುಣಿತ ಎಂಬುದನ್ನು ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯೆ ಮಾಡಲಾಗುತ್ತದೆ.

$\begin{array}{cc}n!& =\prod _{k=1}^{n}k\\ & =1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-2)\cdot (n-1)\cdot n\\ & =n(n-1)(n-2)\cdots (2)(1)\\ \end{array}$

ಇಲ್ಲಿ ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Math ಎಂಬುದು ಒಂದು ಪೂರ್ಣಸಂಖ್ಯೆ. ಮೇಲಿನ ಸಮೀಕರಣದಿಂದ ಒಂದು ಪುನರಾವರ್ತಕ ಸಂಬಂಧ ಅಥವಾ ರಿಕರೆನ್ಸ್ ರಿಲೇಶನ್ ದೊರೆಯುತ್ತದೆ.

$(n+1)!=(n+1)\cdot n!$.

ಉದಾ:

$\begin{array}{cc}5!& =5\cdot 4!\\ 6!& =6\cdot 5!\\ 50!& =50\cdot 49!\\ \end{array}$

0!

ಮೇಲೆ ಕಾಣಿಸಿದ ಪುನರಾವರ್ಥಕ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಸ್ಥಾಪಿಸಲು 0 ಕ್ರಮಗುಣಿತ = 0! = 1 ಎಂಬ 'ವ್ಯಾಖ್ಯೆ ಅಗತ್ಯ.

$0!=1$

ಹೀಗಾಗಿ

Failed to parse (syntax error): {\displaystyle 1! = 1 \cdot 0! = 1 \.}

ಇದನ್ನು ಹೀಗೂ ಅರ್ಥೈಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಸೊನ್ನೆ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಒಂದು ಸಾಲಾಗಿ ಜೋಡಿಸಲು ಕೇವಲ ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಧ್ಯ.

ಹಾಗೆ, ಸೊನ್ನೆ ವಸ್ತುಗಳು ಲಭ್ಯವಾದಾಗ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಸೊನ್ನೆ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಆಯ್ದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಮಾತ್ರ ಸಾಧ್ಯ. ಇದನ್ನು ಕೆಳಗೆಕಂಡಂತೆ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ.

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{0}{0})=\frac{0!}{0!0!}=1$.

n ವಸ್ತುಗಳು ಲಭ್ಯವಾದಾಗ ಅವುಗಳಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲವನ್ನೂ ಆಯ್ದುಕೊಳ್ಳುವುದು ಕೂಡಾ ಒಂದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಧ್ಯ.

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})=\frac{n!}{n!0!}=1$.

0! = 1 ಎಂಬ ವ್ಯಾಖ್ಯೆ ಇರುವುದರಿಂದ ಅನೇಕ ಗಣಿತ ಸಮೀಕರಣಗಳು ಸುಲಭವಾಗುತ್ತವೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ,

$e^x=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^n}{n!}.$

ಪೂರ್ಣವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಕ್ರಮಗುಣಿತ

ಪೂರ್ಣವಲ್ಲದ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗೂ ಕ್ರಮಗುಣಿತ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕೆಲವು ಗಣಿತಜ್ಞರು ನೀಡಿದ್ದಾರೆ.

ಉಪಯೋಗಗಳು

• n ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಸಾಲಾಗಿ ಜೋಡಿಸಲು n! ವಿಧಾನಗಳಿವೆ. ಇವನ್ನು ಜೋಡಣೆಗಳು ಅಥವಾ ಪರ್ಮುಟೇಶನ್ ಎಂದು ಕೂಡಾ ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.
• ಕೆಲವು ಗಣಿತ ಸೂತ್ರಗಳಲ್ಲಿ ಕ್ರಮಗುಣಿತ ಎಂಬುದು ಛೇದದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಇದರ ಅರ್ಥ ವಸ್ತುಗಳ ಜೋಡಣೆಯಲ್ಲಿ ಕ್ರಮ ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ ಎಂದು. ಇದಕ್ಕೊಂದು ಉದಾಹರಣೆ. n ವಸ್ತುಗಳ ಒಂದು ಸೆಟ್ (ಜೊತೆ) ಇದ್ದರೆ ಅದರಲ್ಲಿ k ವಸ್ತುಗಳ ಸಬ್-ಸೆಟ್‍ಗಳನ್ನು ರಚಿಸಬೇಕಾಗಿದೆ. ಮೊದಲ ವಸ್ತುವನ್ನು n ರೀತಿಯಲ್ಲಿ, ಎರಡನೆಯ ವಸ್ತುವನ್ನು n-1 ರೀತಿಗಳಲ್ಲಿ, ಕೊನೆಗೆ k ಕ್ರಮಾಂಕದ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು n-k+1 ರೀತಿಗಳಲ್ಲಿ ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು. ಆದರೆ ಈ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಆರಿಸಿ/ಜೋಡಿಸುವ ಕ್ರಮ ಮುಖ್ಯವಲ್ಲ. ಹೀಗಾಗಿ ಒಟ್ಟು ಸಬ್-ಸೆಟ್‍ಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ

$\frac{n^{\underset{\_}{k}}}{k!}=\frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots (1)}.$

ಈ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ದ್ವಿಪದ ಗುಣಾಂಕ ಎನ್ನುತ್ತಾರೆ ಮತ್ತು $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಇದು ದ್ವಿಪದ ಪ್ರಮೇಯದಲ್ಲಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವ ಕಾರಣ ಹೀಗೆ ನಾಮಕರಣ ಮಾಡಲಾಗಿದೆ.

• ಕಲನಶಾಸ್ತ್ರವಿಭಾಗದಲ್ಲೂ ಕ್ರಮಗುಣಿತ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುತ್ತದೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ ಟೇಲರ್ ಸೂತ್ರ,.
• ಕ್ರಮಗುಣಿತ ಅತ್ಯಂತ ಸಾಧಾರಣವಾಗಿ ಕಾಣಿಸಿಕೊಳ್ಳುವುದು ಸಂಭವನೀಯತೆ ಎಂಬ ಗಣಿತಪ್ರಕಾರದಲ್ಲಿ.
• ಕ್ರಮಗುಣಿತ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಹೀಗೂ ಬರೆಯಬಹುದು.

$\begin{array}{cc}n!& =D^n(x^n)\\ & =\frac{d^n}{d{x}^n}(x^n)\\ \end{array}$

ಇಲ್ಲಿ $D^n{x}^n$ ಎಂಬುದು ವ್ಯತ್ಯಾಸ ಎಂಬ ಪ್ರಕ್ರಿಯೆಯ ಸಂಕೇತ.</math>

n ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದಾಗ ಅದರ ಕ್ರಮಗುಣಿತ ಹೇಗೆ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದುತ್ತದೆ?

'ಫ್ಯಾಕ್ಟೋರಿಯಲ್ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಲಾಗರಿತಂನ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ರೇಖೆ

n ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದಂತೆ ಅದರ ಕ್ರಮಗುಣಿತ ಕ್ಷಿಪ್ರಗತಿಯಲ್ಲಿ ಅಭಿವೃದ್ಧಿ ಹೊಂದುತ್ತದೆ. ಈ ವೇಗವು ಮಿಕ್ಕೆಲ್ಲ ಬಹುಪದೋಕ್ತಿಗಳ ಮತ್ತು ಘಾತಿಕಗಿಂತ ಹೆಚ್ಚು. n! ಎಂಬುದನ್ನು ಅಂದಾಜು ಮಾಡಲು ಹಲವು ವಿಧಾನಗಳಿವೆ. ಮೊದಲು n! ಎಂಬುದರ ನೈಜ ಲಘುಗಣಕ ತೆಗೆದುಕೊಂಡರೆ ಪ್ರಾಪ್ತವಾಗುವುದು,

$\ln n!=\sum _{x=1}^n\ln x.$

ln n! ಎಂಬುದರ ಅಭಿವೃದ್ಧಿಯನ್ನು ಗಮನಿಸಿದಾಗ ಅದು ಒಂದು ಸರಳರೇಖೆಯಂತೆ ತೋರಿದರೂ ಅದು ವಾಸ್ತವವಲ್ಲ. ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಸ್ವಲ್ಪ ಬದಲಾಯಿಸಿದರೆ ln n! ಎಂಬುದರ ಅಂದಾಜು ದೊರೆಯುತ್ತದೆ.

$\underset{1}{\overset{n}{\int }}\ln xdx\le \sum _{x=1}^n\ln x\le \underset{0}{\overset{n}{\int }}\ln (x+1)dx$

$n\ln \left(\frac{n}{e}\right)+1\le \ln n!\le (n+1)\ln \left(\frac{n+1}{e}\right)+1.$

$e{\left(\frac{n}{e}\right)}^n\le n!\le e{\left(\frac{n+1}{e}\right)}^{n+1}.$

ಇದಕ್ಕಿಂತ ಸರಳವಾದ ಅಂದಾಜು ಕೆಲವೊಮ್ಮೆ ಉಪಯುಕ್ತ. ಮೇಲಿನ ಸೂತ್ರವನ್ನು ಬಳಸಿ

$(n/3{)}^n<n!$ ಎಂಬ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಏರ್ಪಡಿಸಬಹುದು; ಹಾಗೆಯೇ n ≥ 6 ಆದಾಗ $n!<(n/2{)}^n$ ಎಂಬ ಸಂಬಂಧವನ್ನು ಏರ್ಪಡಿಸಬಹುದು.

ಕ್ರಮಗುಣಿತ ಸಂಖ್ಯೆಗೆ ಸ್ಟರ್ಲಿಂಗ್ ಅಂದಾಜು

n ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದಾಗ ಸ್ಟರ್ಲಿಂಗ್ ಅಂದಾಜು ಎಂಬುದನ್ನು ಬಳಸಬಹುದು:

$n!\sim \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n.$

ಇದನ್ನು ಸಿದ್ಧಪಡಿಸಲು ಲಘುಗಣಕ ಸಂಖ್ಯೆಯ ಅಪರಿಮಿತ ಸರಣಿಯನ್ನು ಬಳಸಲಾಗುತ್ತದೆ. ಮತ್ತೊಂದು ಅಸಮಾನತೆಯನ್ನೂ ಗಮನಿಸಿ:

$\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n<n!<\sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n{e}^{\frac{1}{12n}}.$

ಶ್ರೀನಿವಾಸ ರಾಮಾನುಜನ್ ಅವರು ಕೂಡಾ n! ಎಂಬುದಕ್ಕೆ ತಮ್ಮದೇ ಒಂದು ಅಂದಾಜು ನೀಡಿದ್ದಾರೆ ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Harv

$\ln n!\approx n\ln n-n+\frac{\ln (n(1+4n(1+2n)))}{6}+\frac{\ln (\pi )}{2}$

ಅಥವಾ

$n!\approx \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n[1+1/(2n)+1/(8n^2){]}^{1/6}.$

ಅಥವಾ

$n!\approx \sqrt{2\pi n}{\left(\frac{n}{e}\right)}^n\exp \left(\frac{1}{12n}-\frac{1}{360n^3}\right)$