ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಇಗೆ ಮೂಲವನ್ನು ವಿಕ್ಷಿಸಿ

'''ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು''' ಎಂದರೆ [[ಗಣಿತ|ಗಣಿತದಲ್ಲಿ]] ಬರುವ '''''J<sub>n</sub>''''', '''''J<sub>-n</sub>''''' ಎಂಬ [[:en:Function (mathematics)|ಉತ್ಪನ್ನಗಳು]]. <math>\exp\left [ \frac{1}{2} x \left ( t - \frac{1}{t} \right ) \right ]</math> ಎಂಬ ಉತ್ಪನ್ನವನ್ನು '''''x''''' ನ ಎಲ್ಲ ಬೆಲೆಗಳಿಗೂ '''''t''''' ಯ ಧನ ಮತ್ತು ಋಣ [[:en:Power series|ಘಾತಗಳ ಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿ]] ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು. '''''n''''' ಧನ [[:en:Integer|ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದರೆ]] ಈ ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿ '''''t<sup>n</sup>''''' ನ [[ಗುಣಾಕಾರ|ಗುಣಕವನ್ನು]] '''''J<sub>n</sub>(x)''''' ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುತ್ತೇವೆ. '''''(-1) t<sup>-n</sup>''''' ಗುಣಕವೂ '''''J<sub>n</sub>(x)''''' ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಆದ್ದರಿಂದ

<math>\exp\left [ \frac{1}{2} x \left ( t - \frac{1}{t} \right ) \right ] = J_0(x) + tJ_1(x) + \cdots
+ t^n J_n(x) + \cdots</math>

<math>\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ - t^{-1}J_1(x) + t^{-2}J_2(x) + \cdots + (-1)^nt^{-n}J_n(x) + \cdots</math>

'''''n''''' ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ (positive integer) ಅಥವಾ ಸೊನ್ನೆಯಾದರೆ

<math>J_n(x) = \frac{x_n}{2^nn!} \left \{ 1 - \frac{x^2}{2^2.1(n+1)} + \frac{x^4}{2^4.1.2.(n+1)(n+2)} - \frac{\cdots}{\cdots} \right \}</math>

'''''n''''' ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾಗಿ '''''n=1-m''''' ಆದರೆ

<math>J_n(x) = \sum_{r=m}^{\infty} \frac{(-1)^r \left (\frac{1}{2} x\right )^{2r-s}}{r!(r-m)!}</math>

<math>\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \sum_{s=0}^{\infty} \frac{(-1)^{m+s} \left ( \frac{1}{2}x \right )^{m+2s}}{(m+s)!s!}</math>...............(2)

ಇದರಿಂದಲೂ '''''J<sub>-m</sub>(x) = (-1)<sup>m</sup>J<sub>m</sub>(x)''''' ಎಂದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗುತ್ತದೆ.<ref>Abramowitz and Stegun, [https://personal.math.ubc.ca/~cbm/aands/page_358.htm p. 358, 9.1.5].</ref>

'''''J<sub>n</sub>''''' ಮತ್ತು '''''J<sub>-m</sub>(x)''''' ನ್ನು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸುವ ಶ್ರೇಣಿಗಳು '''''x''''' ನ ಎಲ್ಲ ಬೆಲೆಗಳಿಗೂ ಅಭಿಸರಣ ([[:en:Convergent series|ಕನ್ವರ್ಜೆಂಟ್]]) ಆಗಿರುತ್ತವೆ. '''''J<sub>n</sub>''''' ಮತ್ತು '''''J<sub>-m</sub>''''' ಗಳನ್ನು ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಗುಣಕಗಳು (Bessel multipliers) ಎಂದು ಕರೆಯುವುದುಂಟು. ಇಲ್ಲಿ '''''n, m''''' ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳು. ಆದರೆ ಬೇರೊಂದು ಪ್ರತೀಕ ಉಪಯೋಗಿಸುತ್ತ

<math>J_n(x) = \sum_{r = 0}^{\infty} \frac{(-1)^r}{\pi(n+r)\pi(r)} \left ( \frac{x}{2} \right )^{n+2s}</math>.............(3)

<math>J_{-n}(x) = \sum_{r = 0}^{\infty} \frac{(-1)^r}{\pi(-n+r)\pi(r)} \left ( \frac{x}{2} \right )^{-n+2x}</math>..............(4)

ಎಂದೂ ಬರೆಯಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ '''''π(n)''''' ಎಂಬುದು [[:en:Gaussian function|ಗೌಸನ ಉತ್ಪನ್ನ]]. [[ಲಿಯೊನಾರ್ಡ್ ಯೂಲರ್|ಆಯಿಲರನ]] [[:en:Gamma function|ಗ್ಯಾಮಾ ಉತ್ಪನ್ನಗಳಲ್ಲಿ]] '''''π(x) = Γ(x+1)'''.'' ಈ ರೂಪದಲ್ಲಿ, ಮೇಲಣ ಶ್ರೇಣಿಗಳನ್ನು '''''J<sub>n</sub>''''' ಮತ್ತು '''''J<sub>-n</sub>''''' ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ರೂಪಗಳೆಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ '''''n''''' ಯಾವುದೇ ಸಂಖ್ಯೆ ಆಗಿರಬಹುದು, ಪೂರ್ಣಾಂಕವೇ ಆಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ. ಹೀಗೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದ '''''J<sub>n</sub>''''' ಮತ್ತು '''''J<sub>-n</sub>''''' ಗಳೇ ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು.

ಈ ಉತ್ಪನ್ನಗಳನ್ನು ಸಂಪೂರ್ಣವಾಗಿ ಬೇರೊಂದು ವಿಧಾನದಿಂದ ಪರಿಚಯ ಮಾಡಿಕೊಡಬಹುದು:

<math>\frac{d^2 y}{dx^2} + \frac{1}{x} \frac{dy}{dx} + \left ( 1 - \frac{n^2}{x^2} \right ) y = 0</math>................(5)

ಎಂಬುದು ದ್ವಿತೀಯ ವರ್ಗದ (second order) ಒಂದು [[:en:Linear differential equation|ಸರಳ ಅವಕಲ ಸಮೀಕರಣ]]. ಇದಕ್ಕೆ ಬೆಸ್ಸೆಲನ [[ಸಮೀಕರಣ]] (Bessel's equation) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಸರಳ ಅವಕಲ ಸಮೀಕರಣಗಳನ್ನು ಬಿಡಿಸುವ ವಿಧಾನ ಅನುಸರಿಸಿ, ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಸಮೀಕರಣ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ, '''''n''''' ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲದಾಗ

'''''y = AJ<sub>n</sub>(x) + BJ<sub>-n</sub>(x)'''''..............(6)

ಆಗಿರುತ್ತದೆ. ಇಲ್ಲಿ '''''A, B''''' ಯಾವುವೇ [[:en:Constant (mathematics)|ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳು]]. ಈ ಪ್ರಕಾರ '''''J<sub>n</sub>''''' ಮತ್ತು '''''J<sub>-n</sub>''''' ಗಳ ಬೆಲೆಗಳು ಮೇಲೆ ಕೊಟ್ಟಿರುವ (3), (4) ಅನಂತರ ಶ್ರೇಣಿಗಳೇ ಆಗಿರುತ್ತವೆ. '''''n''''' ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದರೆ '''''J<sub>n</sub>''''' ನ ಬೆಲೆ (1) ರಲ್ಲಿರುವ ಶ್ರೇಣಿ. ಆದರೆ '''''n''''' ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ '''''J<sub>-n</sub>''''' ಶ್ರೇಣಿ '''''J<sub>n</sub>''''' ನ ಒಂದು ಗುಣಕ. ಇದರಂತೆಯೇ '''''n''''' ಋಣ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ '''''J<sub>n</sub>''''' ಶ್ರೇಣಿ '''''J<sub>-n</sub>''''' ನ ಒಂದು ಗುಣಕ. '''''n=0''''' ಆದಾಗ ಎರಡು ಶ್ರೇಣಿಗಳೂ ಒಂದಾಗುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ '''''n''''' ಪೂರ್ಣಾಂಕ ಅಥವಾ ಸೊನ್ನೆಯಾದಾಗ ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (6) ಒಂದು ಪರಿಹಾರ ಮಾತ್ರ ಕೊಡುತ್ತದೆ. ಬೇರೊಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಬೇರೆ ವಿಧಾನಗಳಿಂದ ಪಡೆಯಬೇಕು.

ಈ ರೀತಿಯಾಗಿ '''''J<sub>n</sub>(x)''''' ಎಂಬ ಉತ್ಪನ್ನ '''''n''''' ನ ಎಲ್ಲ ಬೆಲೆಗಳೂ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಲ್ಪಟ್ಟಿರುವುದಾದರೂ '''''n''''' ಧನ ಪೂಣಾಂಕವಿರುವ '''''J<sub>n</sub>''''' ಗೆ ಅತಿಶಯ ಪ್ರಾಮುಖ್ಯ ಉಂಟು. [[ಗಣಿತ|ಗಣಿತದ]] ಅನೇಕ ಶಾಖೆಗಳಲ್ಲಿ ಇದರ ವ್ಯಾಪಕತ್ವ ಕಂಡುಬರುತ್ತದೆ.

== ಮುಖ್ಯ ಗುಣಗಳು ==
'''''J<sub>n</sub>(x''''') ನ ಕೆಲವು ಮುಖ್ಯ ಗುಣಗಳಿವು. '''''n''''' ಪೂಣಾಂಕವಾಗಿರಬೇಕಾಗಿಲ್ಲ.

# <math>J_0(x) = 1 - \frac{x^2}{2^2} + \frac{x^4}{2^2.4^2} - \frac{x^6}{2^2.4^2.6^2} + \cdots</math>
# <math>J_{n-1}(x) + J_{n+1}(x) = \frac{2n}{x}J_n(x)</math>.<ref>Abramowitz and Stegun, [https://personal.math.ubc.ca/~cbm/aands/page_361.htm p. 361, 9.1.27].</ref> ಇದಕ್ಕೆ '''''J<sub>n</sub>''''' ನ ಪುನರಾವರ್ತಕ ಸೂತ್ರ (recurrence formula) ಎಂದು ಹೆಸರು. '''''J<sub>n-1</sub>''''' ಮತ್ತು '''''J<sub>n</sub>''''' ನ ಸಹಾಯದಿಂದ ಮುಂದಿನ ಉತ್ಪನ್ನ '''''J<sub>n+1</sub>''''' ನ್ನು ಪಡೆಯಬಹುದು.
# <math>J_n'(x) = \frac{n}{x}J_n(x) - J_{n+1}(x)</math>
# <math>J_n'(x) = \frac{1}{2} \{ J_{n-1}(x) - J_{n+1}(x) \}</math>
# <math>J_n'(x) = J_{n-1}(x) - \frac{n}{x}J_n(x)</math>
# <math>J_{\frac{1}{2}}(x) = \frac{2^{\frac{1}{2}}x^{\frac{1}{2}}}{\pi_{\frac{1}{2}}} \left \{ 1 - \frac{x^2}{2.3} + \frac{x^4}{2.3.4.5} - \cdots \right \} = \left ( \frac{2}{\pi x} \right )^{\frac{1}{2}}\sin x</math>
# <math>J_{k + \frac{1}{2}}(x) = (-1)^k \frac{(2x)^{k+\frac{1}{2}}}{\pi^{\frac{1}{2}}} \times \frac{d^k}{d(x^2)^n} \left ( \frac{\sin x}{x} \right ) </math>, '''''k=''''' ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕ.
# <math>\cos x = J_0(x) - 2J_2(x) + 2J_4(x) - \cdots </math>, <math>\sin x = 2J_1(x) - 2J_3(x) + 2J_5(x) - \cdots </math>
# '''''n''''' ಧನ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ, <math>J_n(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi} (\cos n\theta -x\sin\theta) d\theta </math>
# <math>\int_0^{\infty}e^{-ax} J_0(bx) dx = (a^2 + b^2)^{-\frac{1}{2}} </math>
# <math>J_{-n}\ \frac{dJ_n}{dx} - J_n\ \frac{dJ_{-n}}{dx} = \frac{2}{\pi x}\sin n\pi </math>
ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಅವಕಲನಾಂಕವಿರುವ (continuous differential coefficient) ಯಾವುದೇ ಉತ್ಪನ್ನ '''''f(x)''''' ನ್ನು '''''(0,π)''''' ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ, ಬೆಸ್ಸಲನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಶ್ರೇಣಿಯಾಗಿ ವಿಸ್ತರಿಸಬಹುದು:

<math>f(x) = a_0 + a_1 J_0(x) + a_2 J_0(2x) + \cdots</math>

ಇಲ್ಲಿ <math>a_0 = f(0) + \frac{1}{\pi} \int_0^{\pi}u \int_0^{\frac{1}{2}\pi}f'(u\sin \theta)d\theta du</math>

<math>a_0 = \frac{2}{\pi}\int_0^{\pi}u \cos\ nu \int_0^{\frac{1}{2}\pi}f'(u\sin \theta)d\theta \ du, n > 0</math>

== ಬೆಸ್ಸಲನ ಉತ್ಪನ್ನದ ಶೂನ್ಯಗಳು ==
'''''φ(x) = 0''''' ಆಗುವಂಥ ಯಾವುದೇ '''''x''''' ನ ಬೆಲೆಗೆ ಸಾಮಾನ್ಯ [[ಬೀಜಗಣಿತ|ಬೀಜಗಣಿತದಲ್ಲಿ]] ಉತ್ಪನ್ನದ ಮೂಲ (root of a function) ಎಂದು ಹೆಸರಿದೆ. ಪ್ರೌಢವಿಶ್ಲೇಷಣ ಗಣಿತದಲ್ಲಿ ಇದನ್ನು [[:en:Zero of a function|ಉತ್ಪನ್ನದ ಶೂನ್ಯ]] ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಉತ್ಪನ್ನದ ಶೂನ್ಯಗಳಿಗೆ ಸ್ವಾರಸ್ಯಕರ ಗುಣಗಳಿವೆ.

'''''n''''' ಯಾವುದೇ [[ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ|ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಯಾದರೆ]] '''''J<sub>n</sub>(x'')''' ಗೆ ಅನಂತ ಸಂಖ್ಯೆಯಲ್ಲಿ ಶೂನ್ಯಗಳಿವೆ.<ref>Bessel, F. (1824), article 14.</ref> ಎಲ್ಲ ಶೂನ್ಯಗಳೂ ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆಗಳು. '''''J<sub>n</sub>(x'')''' ನ ಎರಡು ಧನ ಶೂನ್ಯಗಳ ನಡುವೆ '''''J<sub>n+1</sub>(x'')''' ನ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವೂ '''''J<sub>n-1</sub>(x'')''' ನ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವೂ ಇವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ '''''J<sub>n</sub>''''', '''''J<sub>n-1</sub>''''' ನ ಶೂನ್ಯಗಳು ಪರಸ್ಪರ ಪ್ರತ್ಯೇಕಿಸುತ್ತವೆ. <math>n > \frac{1}{2}</math> ಆದಾಗ '''''J<sub>n</sub>(x'')''' ಆಸನ್ನ ಶೂನ್ಯಗಳ ನಡುವಣ ಅವಧಿ '''''π''''' ಗಿಂತ ಅಧಿಕ, ಆದರೆ ದೊಡ್ಡ ಶೂನ್ಯಗಳ ನಡುವಣ ಅವಧಿಯನ್ನು '''''π''''' ಗಿಂತ ಕೋರಿದಷ್ಟು ಕಡಿಮೆಯಾಗಿ ಮೀರುವಂತೆ ಆಯಬಹುದು.

ಧನ x-ಅಕ್ಷದ ಮೇಲೆ '''''π''''' ಉದ್ದದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಅವಧಿಯಲ್ಲೂ '''''J(x)''''' ನ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವಿದೆ.

ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಅವಕಲ ಸಮೀಕರಣಕ್ಕೆ (6) ರಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವ [[:en:Expression (mathematics)|ಉಕ್ತಿ]] '''''n''''' ಪೂರ್ಣಾಂಕವಲ್ಲದಾಗ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ '''''n''''' ಕೊಡುತ್ತದೆ. ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ ಇದರಿಂದ '''''J<sub>n</sub>''''' ಎಂಬ ಒಂದೇ ಪರಿಹಾರ ಉಂಟಾಗುತ್ತದೆ. ಸಮೀಕರಣದ ಇನ್ನೊಂದು ಪರಿಹಾರವನ್ನು ಇಲ್ಲಿ ಬರೆಯುವೆವು.

'''''n=0''''' ಆದಾಗ ಇನ್ನೊಂದು ಪರಿಹಾರ

<math>y_0 = J_0 \log x + 2 \left \{ J_2 - \frac{1}{2}J_4 + \frac{1}{3}J_6 - \frac{1}{4}J_8 + \frac{1}{5}J_{10} - \cdots \right \}</math>

ಆದ್ದರಿಂದ, <math>\frac{d^2 y}{dx^2} + \frac{1}{x} \frac{dy}{dx} + y = 0</math>

ಎಂಬ ಅವಕಲ ಸಮೀಕರಣದ ಪರಿಹಾರ

'''''y = AJ<sub>೦</sub> + By<sub>೦</sub>'''''

'''''n''''' ಸೊನ್ನೆಯಲ್ಲದ ಪೂರ್ಣಾಂಕವಾದಾಗ ಬೆಸ್ಸೆಲನ ಅವಕಲ ಸಮೀಕರಣದ ಸಂಪೂರ್ಣ ಪರಿಹಾರ

'''''y = AJ<sub>n</sub> + By<sub>n</sub>'''''

ಇಲ್ಲಿ, <math>y_n = \log x - \sum_{r=1}^{\infty} (-1)^r \frac{n+2r}{r(n+r)}J_{n+2r}</math>

<math>\ \ \ \ \ \ \ \ \ - \frac{1}{2}\pi(n) \sum_{p=0}^{n-1} \frac{1}{n-p} \left ( \frac{2}{x} \right )^{n-p} \frac{J_p}{\pi(p)}</math>

'''''y<sub>0</sub>''''', '''''y<sub>n</sub>''''' ಉತ್ಪನ್ನಗಳು '''''x=0''''' ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ ಕ್ರಮವಾಗಿಲ್ಲವೆಂಬುದು ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿದೆ.

== ಟಿಪ್ಪಣಿಗಳು ==
{{ಉಲ್ಲೇಖಗಳು}}

==ಉಲ್ಲೇಖಗಳು==
{{Refbegin|30em}}
* {{Abramowitz_Stegun_ref2|9|355|10|435}}
* [[George B. Arfken|Arfken, George B.]] and Hans J. Weber, ''Mathematical Methods for Physicists'', 6th edition (Harcourt: San Diego, 2005). {{ISBN|0-12-059876-0}}.
* {{cite journal |last1=Bessel |first1=Friedrich |title=Untersuchung des Theils der planetarischen Störungen, welcher aus der Bewegung der Sonne entsteht |journal=Berlin Abhandlungen |date=1824 |trans-title=Investigation of the part of the planetary disturbances which arise from the movement of the sun}}  Reproduced as pages 84 to 109 in {{cite book |title=Abhandlungen von Friedrich Wilhelm Bessel |date=1875 |publisher=Engelmann |location=Leipzig |url=https://play.google.com/store/books/details?id=Un4EAAAAYAAJ}} [https://drive.google.com/file/d/1W-z4BNN4s7nfGC9IbCkhQksHzGQG-wox/view?usp=sharing English translation of the text].
{{Refend}}

==ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು==
{{Refbegin|30em}}
* {{SpringerEOM|first=P. I. |last=Lizorkin|id=b/b015840|title=Bessel functions}}.
* {{SpringerEOM|first=L. N. |last=Karmazina|first2=A.P. |last2=Prudnikov|id=c/c027610|title=Cylinder function}}.
* {{SpringerEOM|first=N. Kh.|last=Rozov|id=B/b015830|title=Bessel equation}}.
* Wolfram function pages on Bessel [https://functions.wolfram.com/Bessel-TypeFunctions/BesselJ/ J] and [https://functions.wolfram.com/Bessel-TypeFunctions/BesselY/ Y] functions, and modified Bessel [https://functions.wolfram.com/Bessel-TypeFunctions/BesselI/ I] and [https://functions.wolfram.com/Bessel-TypeFunctions/BesselK/ K] functions. Pages include formulas, function evaluators, and plotting calculators.
{{Refend}}

[[ವರ್ಗ:ಗಣಿತ]]
[[ವರ್ಗ:ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ]]