ಶಾಂಕವೇಯಗಳು

ಶಾಂಕವೇಯದ ಒಂದು ಉದಾಹರಣೆಯಾದ ದೀರ್ಘವೃತ್ತಜ

ಶಾಂಕವೇಯಗಳು ಎನ್ನುವುದು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಜ (ಎಲ್ಲಿಪ್ಸಾಯ್ಡ್), ಪರವಲಯಜ (ಪ್ಯಾರಬೊಲಾಯ್ಡ್) ಮತ್ತು ಅತಿಪರವಲಯಜಗಳ (ಹೈಪರ್ಬೊಲಾಯ್ಡ್) ಒಟ್ಟು ಹೆಸರು (ಕಾನಿಕಾಯ್ಡ್ಸ್). ಇವು ಮೂರು ಆಯಾಮಗಳ ಘನಾಕೃತಿಗಳು. ಎರಡನೆಯ ದರ್ಜೆಯ ಪೃಷ್ಠ (ಸರ್ಫೇಸ್). ಎಂದೇ ಇದರ ಕಾರ್ಟೀಸಿಯನ್ ಸಮೀಕರಣದ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ರೂಪ:

ax²+by²+cz²+2fyz+2gzx+2hxy+2lx+2my+2nz+d = 0

ಶಾಂಕವೇಯದ ಕೆಲವು ಮುಖ್ಯ ಗುಣಗಳು

1. ಶಾಂಕವೇಯವನ್ನು ಸರಳರೇಖೆಯೊಂದು ಸ್ಪರ್ಶಿಸದಿರಬಹುದು, ಸ್ಪರ್ಶಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಎರಡು ವಿಭಿನ್ನ ಬಿಂದುಗಳಲ್ಲಿ ಛೇದಿಸಬಹುದು. ಎರಡನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ಆ ಸರಳರೇಖೆಯನ್ನು ಶಾಂಕವೇಯದ ಸ್ಪರ್ಶಕ (tangent) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.
2. ಶಾಂಕವೇಯವನ್ನು ಸಮತಲವೊಂದು ಸ್ಪರ್ಶಿಸದಿರಬಹುದು, ಸ್ಪರ್ಶಿಸಬಹುದು ಅಥವಾ ಛೇದಿಸಬಹುದು. ಈ ಮೂರನೆಯ ಸಂದರ್ಭದಲ್ಲಿ ದೊರೆಯುವ ಅಡ್ಡಕೊಯ್ತಕ್ಕೆ ಶಂಕುಚ್ಛೇದ ಅಥವಾ ಶಂಕುಜ (ಕಾನಿಕ್) ಎಂದು ಹೆಸರು.
3. ಶಾಂಕವೇಯದ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ರೂಪದಲ್ಲಿ 9 ಸ್ಥಿರಾಂಕಗಳಿವೆ. ಇಲ್ಲಿ a, b, c, f, g, h, l, m, n, d ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರುತ್ತವೆ. a, b, c ಗಳಲ್ಲಿ ಕನಿಷ್ಠಪಕ್ಷ ಒಂದು ಶೂನ್ಯವಾಗಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಇದರ ಅರ್ಥ:

ಸಮರ್ಪಕವಾಗಿ ಆಯ್ದ 9 ನಿರ್ದಿಷ್ಟ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಸಾಗುವಂತೆ ಅಥವಾ 3 ಪರಸ್ಪರ ವಿಷಮತಲೀಯ ಸರಳರೇಖೆಗಳನ್ನು ಒಳಗೊಳ್ಳುವಂತೆ ಒಂದು ಶಾಂಕವೇಯವನ್ನು ರಚಿಸಬಹುದು. ಸಮರ್ಪಕ ಲಂಬನಿರ್ದೇಶಕ ವ್ಯವಸ್ಥೆಯೊಂದನ್ನು ಆಯ್ದ ಮೇಲಿನ ಸಾರ್ವತ್ರಿಕ ರೂಪವನ್ನು ಸುಲಭ ರೂಪಕ್ಕೆ ಸರಳೀಕರಿಸುವುದು ಸಾಧ್ಯವಿದೆ. ಉದಾ:

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1$ ಇದು ದೀರ್ಘವೃತ್ತಜ

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=1$ ಇದು ಒಂದು ಹಾಳೆಯ ಅತಿಪರವಲಯಜ.

$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-\frac{z^2}{c^2}=-1$ ಇದು ಎರಡು ಹಾಳೆಗಳ ಅತಿಪರವಲಯಜ

ಇವೆಲ್ಲವೂ ಕೇಂದ್ರೀಯ ಪೃಷ್ಠಗಳು. ಏಕೆಂದರೆ ಇವುಗಳಿಗೆ ಒಂದೇ ಒಂದು ಕೇಂದ್ರವಿದೆ. ನಕೇಂದ್ರೀಯ ಪೃಷ್ಠಗಳೂ ಇವೆ: $z=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$ ಈ ಸಮೀಕರಣ ದೀರ್ಘವೃತ್ತರೂಪದ ಪರವಲಯಜವನ್ನು (elliptic paraboloid) ಸೂಚಿಸುತ್ತದೆ. ಇದಕ್ಕೆ ಕೇಂದ್ರವಿಲ್ಲ.

ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ

• M. Audin: Geometry, Springer, Berlin, 2002, ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:ISBN, p. 200.
• M. Berger: Problem Books in Mathematics, ISSN 0941-3502, Springer New York, pp 79–84.
• A. Beutelspacher, U. Rosenbaum: Projektive Geometrie, Vieweg + Teubner, Braunschweig u. a. 1992, ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:ISBN, p. 159.
• P. Dembowski: Finite Geometries, Springer, 1968, ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:ISBN, p. 43.
• ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Springer
• ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Mathworld

ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು

• Interactive Java 3D models of all quadric surfaces
• Lecture Note Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius, Laguerre and Minkowski Planes, p. 117