ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಗಳು

ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಎಂಬುದು ಗಣಿತವಿಜ್ಞಾನದ ಒಂದು ಪರಿಕಲ್ಪನೆ. ನೈಜಚರವೊಂದರ (real variable) ಫಲನದ, ಆ ಫಲನಕ್ಕೆ ಪರಮಾವಧಿ ಮೌಲ್ಯವೆಂಬುದೊಂದು ಇದ್ದ ಪಕ್ಷಕ್ಕೆ, ಆ ಫಲನದ ಅತ್ಯಧಿಕ / ಅತ್ಯಲ್ಪ ಮೌಲ್ಯಗಳಿಗೆ ಗರಿಷ್ಠ / ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಗಳೆಂದು (ಮ್ಯಾಕ್ಸಿಮ ಅಂಡ್ ಮಿನಿಮ) ಹೆಸರು.

ವ್ಯಾಖ್ಯೆ

(a, b) ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ f(x) ಎಂಬ ಒಂದು ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಫಲನ ದತ್ತವಾಗಿರಲಿ. ಈ ಅವಧಿಯ c ಬಿಂದು ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುವಿನ ಉಭಯ ಸಾಮೀಪ್ಯದಲ್ಲಿ 0 < h < η ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ f(c+h) - f(c) < 0 ಆಗುವಂತೆ η ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆಯೊಂದಿದ್ದರೆ, f(c) ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ f(x) ನ ಒಂದು ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವೆಂದೂ, [c, f(c)] ಎಂಬ ಬಿಂದುವಿಗೆ (ಅಥವಾ ಹ್ರಸ್ವವಾಗಿ, c ಎಂಬ ಬಿಂದು) f(x) ನ ಒಂದು ಗರಿಷ್ಠಬಿಂದುವೆಂದೂ ಹೆಸರು. ಆ ಬದಲು 0 < h < η ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ f(c+h) - f(c) > 0 ಆದರೆ, f(c) ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ f(x) ನ ಒಂದು ಕನಿಷ್ಠಮೌಲ್ಯವೆಂದೂ, [c, f(c)] ಬಿಂದುವಿಗೆ f(x) ನ ಒಂದು ಕನಿಷ್ಠಬಿಂದುವೆಂದೂ ಹೆಸರು. ಇಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಎಂಬ ಪದಗಳಿಗೆ ಅಧಿಕತಮ, ಅಲ್ಪತಮ ಎಂಬ ಅರ್ಥವಲ್ಲ. ದತ್ತ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ ಒಂದು ಫಲನಕ್ಕೆ ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಗಳು ಅನೇಕವಿರಬಹುದು. ಚಿತ್ರ (1) ರಲ್ಲಿ ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳು ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ತೋರಿಸಲಾಗಿದೆ.

ಚಿತ್ರ (1)

x=c ಎಂಬ ಗರಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ f(x) ಗೆ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಿರುವುದಾದರೆ, ಆಗ ಅವಶ್ಯಕವವಾಗಿ f'(c) = 0. ಏಕೆಂದರೆ, ಮೇಲಿನ ನಿರೂಪಣೆಯ ಪ್ರಕಾರ 0 < h < η ಆದಾಗ, c ಎಂಬ ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ $\frac{f(c+h)-f(c)}{h}<0$  ಮತ್ತು $\frac{f(c-h)-f(c)}{-h}>0$. ಆದ್ದರಿಂದ $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(c+h)-f(c)}{h}\le 0$ ಮತ್ತು $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(c+h)-f(c)}{-h}\ge 0$ ಆಗುತ್ತವೆ. ಈಗ f'(c) ಇದೆಯೆಂದು ಪರಿಭಾವಿಸಿದರೆ ಈ ಎರಡು ಪರಿಮಿತಿಗಳೂ f'(c) ಗೆ ಸಮವಾಗಿರಬೇಕು. ಆದ್ದರಿಂದ f'(c) = 0. ಇದೇ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ c ಎಂಬ ಬಿಂದು ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾದಾಗಲೂ f'(c) = 0.  ಆದರೆ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ f'(c) = 0 ಆದಾಗ x=c ಎಂಬ ಬಿಂದು f(x) ನ ಒಂದು ಗರಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಲೇ ಬೇಕಾದ್ದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ f(x) = x³ ಆದರೆ, c=0 ನಲ್ಲಿ f'(c) = 0; ಆದರೆ, x = 0 ಎಂಬ ಬಿಂದು ಗರಿಷ್ಠವಾಗಲಿ ಕನಿಷ್ಠವಾಗಲಿ ಅಲ್ಲ.

f'(c) = 0 ಆದರೆ [c, f'(c)] ಬಿಂದುವಿಗೆ f(x) ನ ಒಂದು ಸ್ತಬ್ಧಬಿಂದು (ಸ್ಟೇಷನರಿ ಪಾಯಿಂಟ್) ಎಂದು ಹೆಸರು.

ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳಿಗೆ ಪರಾಕಾಷ್ಠ (ಪರಮಾವಧಿ) ಬಿಂದುಗಳೂ (ಎಕ್ಸ್‌ಟ್ರಿಮಾ - extrema) ಎಂಬ ಹೆಸರೂ ಇದೆ.

ಪರಾಕಾಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದಕ್ಕೆ ನಿಬಂಧನೆಗಳು

ಪರಾಕಾಷ್ಠ ಬಿಂದುಗಳನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯುವುದಕ್ಕೆ ಮುಂದಿನ ಯಥಾಸಮೃದ್ಧ ನಿಬಂಧನೆಗಳು ಉಪಯೋಗಕ್ಕೆ ಬರುತ್ತವೆ. ಇವನ್ನು ಮಾಧ್ಯಮೌಲ್ಯ ಪ್ರಮೇಯಗಳಿಂದ (ಮೀನ್ ವ್ಯಾಲ್ಯೂ ತಿಯೊರಮ್ಸ್) ಸಾಧಿಸಬಹುದು.

(i) [c-n, c+η) ಎಂಬ ಅವಧಿಯಲ್ಲಿ f(x) ಗೆ f'(x) ಎಂಬ ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ವ್ಯುತ್ಪನ್ನವಿದ್ದು (continuous derivative) c-η < x < c ಆದಾಗ f'(x) > 0 ಆಗಿಯೂ ಇರುವಂತಿದ್ದರೆ x=c ಬಿಂದು f(x) ನ ಒಂದು ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗುತ್ತದೆ. ಬದಲಿಗೆ c-η < x < c ಆದಾಗ f'(x) > 0 ಆಗಿಯೂ, c < x < c+η ಆದಾಗ f'(x) > 0 ಆಗಿಯೂ ಇರುವಂತಿದ್ದರೆ x=c ಬಿಂದು f(x) ನ ಒಂದು ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಪಕ್ಷ f'(c) = 0 ಆಗಿ x ನ ಬೆಲೆಗಳು c ಮುಖಾಂತರ ಎಡದಿಂದ ಬಲಕ್ಕೆ ಸಾಗಿದಾಗ f'(x) ನ ಚಿಹ್ನೆ c ಬಿಂದುವಿನ ಉಭಯಪಾರ್ಶ್ವಗಳಲ್ಲೂ ಒಂದೇ ಆಗಿದ್ದರೆ x=c ಬಿಂದು ಗರಿಷ್ಠವೂ ಅಲ್ಲ, ಕನಿಷ್ಠವೂ ಅಲ್ಲ.

(ii) f'(c) = 0, f''(c) ≠ 0 ಆಗಿ ಜೊತೆಗೆ f''(x) ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನವಾಗಿದ್ದು ಆಗ f''(c) < 0 ಆದರೆ, x=c ಎಂಬ ಬಿಂದು f(x) ನ ಒಂದು ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗುತ್ತದೆ. ಆ ಬದಲು f''(c) > 0 ಆದರೆ, x=c ಎಂಬ ಬಿಂದು f(x) ನ ಒಂದು ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗುತ್ತದೆ. ಒಂದು ವೇಳೆ f'(c) = f''(c) = 0 ಮತ್ತು f'''(c) ≠ 0 ಆದರೆ ಆಗ x=c ಬಿಂದು ಗರಿಷ್ಠವೂ ಅಲ್ಲ ಕನಿಷ್ಠವೂ ಅಲ್ಲ.

ಹೀಗೆಯೇ f'(c) = f''(c) =... =f^2n-1(c) = 0 ಮತ್ತು f²ⁿ(c) ≠ 0 ಆಗಿ f²ⁿ(c) ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನವಾಗಿದ್ದರೆ, f²ⁿ(c) ≤ 0 ಆದಂತೆ x=c ಬಿಂದು ಗರಿಷ್ಠ ಇಲ್ಲವೆ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗುತ್ತದೆ.

ಒಂದು ಪಕ್ಷ f'(c) = f''(c) =... =f²ⁿ(c) = 0 ಮತ್ತು f²ⁿ⁺¹(c) ≠ 0 ಆದರೆ x=c ಬಿಂದು ಗರಿಷ್ಠವೂ ಅಲ್ಲ, ಕನಿಷ್ಠವೂ ಅಲ್ಲ.

ಮೇಲ್ಮೈಗಳ (ಸರ್ಫೇಸಸ್) ಗರಿಷ್ಠ ಮತ್ತು ಕನಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯಗಳು

x-y ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ (field) z = f(x,y) ಎಂಬ ಒಂದು ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಮೇಲ್ಮೈ (continuous surface) ದತ್ತವಾಗಿದೆಯೆಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ದತ್ತಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ (a,b) ಎಂಬ ಆಂತರಿಕ ಬಿಂದುವಿನ ಸಾಮೀಪ್ಯದಲ್ಲಿ 0 < |h| < η₁ ­ಮತ್ತು 0 < |h| < η₂ ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ f(a+h, b+k) - f(a,b) < 0 ಆಗುವಂತೆ η₁, η₂ ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿದ್ದರೆ, f(a,b) ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ f(x,y) ನ ಒಂದು ಗರಿಷ್ಠ ಮೌಲ್ಯವೆಂದೂ [a, b, f(a,b)] ಎಂಬ ಬಿಂದುವಿಗೆ [ಅಥವಾ ಹ್ರಸ್ವವಾಗಿ (a,b) ಬಿಂದು] f(x, y) ಯ ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವೆಂದೂ ಹೆಸರು. ಆ ಬದಲು 0 < |h| < η₁ ­ಮತ್ತು 0 < |h| < η₂ ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ f(a+h, b+k) - f(a,b) > 0 ಆಗುವಂತೆ η₁, η₂ ಎಂಬ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಿದ್ದರೆ, f(a,b) ಮೌಲ್ಯಕ್ಕೆ f(x,y) ಯ ಒಂದು ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವೆಂದೂ ಹೆಸರು.

ಚಿತ್ರ (2)

ಚಿತ್ರ (2) ರಲ್ಲಿ ಕೊಟ್ಟಿರುವ ಆಕೃತಿಗಳಲ್ಲಿ ಕೆಂಪು ಬಿಂದು ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಿದೆ, ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದು ಅತ್ಯಂತ ಕೆಳಗಿದೆ.

ಈಗ f(x,y) ಗೆ [a, b, f(a,b)] ಎಂಬ ಗರಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಿನಲ್ಲಿ f_x(a, b), f_y(a, b) ಎಂಬ ಆಂಶಿಕ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ಇವೆ ಎಂದು ಭಾವಿಸೋಣ. ಆಗ ಅವಶ್ಯಕವಾಗಿ f_x(a, b) = 0 ಮತ್ತು f_y(a, b) = 0 ಎಂಬುದನ್ನು ಸುಲಭವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ ಪ್ರತಿಯಾಗಿ f_x(a, b) = 0 ಮತ್ತು f_y(a, b) = 0 ಆದರೆ, (a,b) ಬಿಂದು ಗರಿಷ್ಠ ಅಥವಾ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಲೇಬೇಕಾದ್ದಿಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ f(x,y) = xy ಆದರೆ f_x(0, 0) = 0 = f_y(0, 0); ಆದರೆ ಈ ಮೇಲ್ಮೈಗೆ ಇರುವ ಮೂಲಬಿಂದು ಗರಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಲಿ ಕನಿಷ್ಠ ಬಿಂದುವಾಗಲಿ ಅಲ್ಲ.

ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು

• Thomas Simpson's work on Maxima and Minima at Convergence
• Application of Maxima and Minima with sub pages of solved problems