ಸಂಯೋಜನೆಗಳು

ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:About ಗಣಿತ ಕ್ಷೇತ್ರದಲ್ಲಿ "ಸಂಯೋಜನೆಗಳು" (ಕಾಂಬಿನೇಷನ್ಸ್) ಎನ್ನುವ ಪದವನ್ನು ಒಂದು ಸಂಗ್ರಹದಿಂದ ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಎಷ್ಟು ವಿಧಗಳಲ್ಲಿ ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಿಕೊಳ್ಳಬಹುದು ಎಂಬುದನ್ನು ಸೂಚಿಸಲು ಬಳಸುತ್ತಾರೆ. ಇದಕ್ಕೆ "ಸಂಚಯಗಳು" ಎಂದು ಕೂಡಾ ಕರೆಯಬಹುದು. ಉಹಾಹರಣೆಗೆ ಒಂದು ಸಂಗ್ರಹದಲ್ಲಿ ನಾಲ್ಕು ಹೂಗಳಿವೆ - ಮಲ್ಲಿಗೆ, ಸೇವಂತಿಗೆ, ಗುಲಾಬಿ ಮತ್ತು ಸಂಪಿಗೆ. ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ ಎರಡು ಹೂಗಳನ್ನು ಆರಿಸಬೇಕು ಎಂದುಕೊಳ್ಳಿ. ಒಟ್ಟು ಆರು ಸಾಧ್ಯತೆಗಳಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ನಾವು ನೋಡಬಹುದು. {ಮಲ್ಲಿಗೆ, ಸೇವಂತಿಗೆ}, {ಮಲ್ಲಿಗೆ, ಗುಲಾಬಿ}, {ಮಲ್ಲಿಗೆ, ಸಂಪಿಗೆ}, {ಸೇವಂತಿಗೆ, ಗುಲಾಬಿ}, {ಸೇವಂತಿಗೆ, ಸಂಪಿಗೆ}, {ಗುಲಾಬಿ, ಸಂಪಿಗೆ}. {ಮಲ್ಲಿಗೆ, ಸೇವಂತಿಗೆ} ಮತ್ತು {ಸೇವಂತಿಗೆ, ಮಲ್ಲಿಗೆ} ಇವುಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವ ವ್ಯತ್ಯಾಸವೂ ಇಲ್ಲ ಎಂಬುದನ್ನೂ ಗಮನಿಸಿ. ಕ್ರಮಸಂಚಯಗಳು ಅಥವಾ ಪರ್ಮ್ಯುಟೇಷನ್ಸ್ ಎಂದರೆ ಹೂವುಗಳನ್ನು ಜೋಡಿಸುವ ಕ್ರಮವೂ ಮುಖ್ಯ. ನಾಲ್ಕು ಹೂವುಗಳಲ್ಲಿ ಎರಡರ ಕ್ರಮಸಂಚಯಗಳ ಸಂಖ್ಯೆ ೧೨ ಎಂಬುದನ್ನು ನೀವು ಊಹಿಸಬಹುದು. ಒಂದು ಸಂಗ್ರಹದಲ್ಲಿ n ವಸ್ತುಗಳಿದ್ದರೆ ಆ ಸಂಗ್ರಹದಿಂದ k ವಸ್ತುಗಳನ್ನು ಆರಿಸಿಕೊಳ್ಳಲು ಎಷ್ಟು ವಿಧಗಳಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು $n C_{k}$ ಎಂದು ಅಥವಾ $(\binom{n}{k})$ ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಸಂಗ್ರಹದಲ್ಲಿರುವ ವಸ್ತುಗಳಲ್ಲಿ ಒಂದನ್ನು ಆರಿಸಲು n ವಿಧಗಳಿವೆ ಎಂಬುದನ್ನು ಗಮನಿಸಿ. ಹೀಗಾಗಿ $(\binom{n}{1}) = n$ . ಹೀಗೇ ಸಂಗ್ರಹದಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳನ್ನೂ ಆಯ್ದುಕೊಳ್ಳಲು ಒಂದೇ ವಿಧಾನ. ಹೀಗಾಗಿ $(\binom{n}{n}) = 1$ .

(\binom{n}{k}) = \frac{n (n - 1) \dots (n - k + 1)}{k (k - 1) \dots 1}

ಇದನ್ನು ಹೀಗೂ ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ - $\frac{n!}{k! (n - k)!}$ ಇಲ್ಲಿ $n! = n \cdot (n - 1) \cdot . . . \cdot 2 \cdot 1$ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ವಿಷಯದಲ್ಲಿ ಕೆಳಕಂಡ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಗಮನಿಸಿ.

(\binom{n}{k}) = (\binom{n - 1}{k - 1}) + (\binom{n - 1}{k})

ಇದನ್ನು ಬಳಸಿ $(\binom{n}{k})$ ಎಷ್ಟೆಂದು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು. ಪ್ಯಾಸ್ಕಲ್ ತ್ರಿಕೋನವನ್ನು ರಚಿಸಲು ಈ ಸಮೀಕರಣ ಸಹಾಯಕ^[೧]. ಈ ಸಮೀಕರಣ ಬಳಸುವಾಗ k ಶೂನ್ಯವಾದರೆ $(\binom{n}{k}) = 1$ ಎಂಬುದನ್ನು ನೆನಪಿಡಬೇಕು. ಕೆಳಕಂಡ ಸಮೀಕರಣವನ್ನು ಬಳಸಿ ಕೂಡಾ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಕಂಡುಹಿಡಿಯಬಹುದು

(\binom{n}{k}) = \frac{n (n - 1) (n - 2) \dots (n - k + 1)}{k!}

.

ಗಣಕವಿಜ್ಞಾನದಲ್ಲಿ ಕೆಳಗಿನ ಸೂತ್ರ ಬಳಸಿ ಸಂಯೋಜನೆಗಳ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಲೆಕ್ಕ ಹಾಕಬಹುದು.

(\binom{n}{k}) = {\begin{matrix} (\binom{n}{k - 1}) \frac{n - k + 1}{k} & if k > 0 \\ (\binom{n - 1}{k}) \frac{n}{n - k} & if k < n \\ (\binom{n - 1}{k - 1}) \frac{n}{k} & if n, k > 0 \end{matrix}

.

ಉದಾಹರಣೆ

೫೨ ಇಸ್ಪೀಟ್ ಎಲೆಗಳಲ್ಲಿ ಐದನ್ನು ಎಷ್ಟು ರೀತಿಗಳಲ್ಲಿ ಆರಿಸಬಹುದು?

(\binom{52}{5}) = \frac{52 \times 51 \times 50 \times 49 \times 48}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{311, 875, 200}{120} = 2, 598, 960 .

ಉಲ್ಲೇಖಗಳು

ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:ಉಲ್ಲೇಖಗಳು

↑ ಬೈನಾಮಿಯಲ್ ಥಿಯರಂ ಮತ್ತು ಪ್ಯಾಸ್ಕಲನ ತ್ರಿಕೋನ

[1] ಬೈನಾಮಿಯಲ್ ಥಿಯರಂ ಮತ್ತು ಪ್ಯಾಸ್ಕಲನ ತ್ರಿಕೋನ

[೧]

ಸಂಯೋಜನೆಗಳು

ಉದಾಹರಣೆ

ಉಲ್ಲೇಖಗಳು

ಸಂಚರಣೆ ಪಟ್ಟಿ

ಹುಡುಕು