ಗಣ (ಗಣಿತ)

ಒಂದು ವೆನ್ ಚಿತ್ರದಲ್ಲಿ ಬಹುಕೋನಗಳ ಗಣ

ಮೂಲಭೂತವಾಗಿ, ಗಣ ಎಂಬುದು ಸಮೂಹಗಳ ನಿರೂಪಣೆ. ಗಣವು ವಿಭಿನ್ನ ವಸ್ತುಗಳ ಸಂಗ್ರಹ. ಗಣಿತ ಮತ್ತು ಗಣಕಯಂತ್ರ ಶಾಸ್ತ್ರದಲ್ಲಿ ಗಣ ಸಿದ್ಧಾಂತ (Set Theory) ಒಂದು ಪ್ರಮುಖವಾದ ವಿಷಯ. ಉದಾಹರಣೆಗಳು: W = {೦, ೧, ೨, ೩, ೪,...} ಎಂಬುದು ಅಂಕಿಗಳ ಒಂದು ಅನಂತ ಗಣವಾದರೆ (infinite set), ಪ = {ಹಸು, ಕಾಗೆ, ಕೋಳಿ, ಸಿಂಹ, ಹುಲಿ} ಎಂಬುದು, ೫ ಪ್ರಾಣಿ ಸದಸ್ಯಗಳ ಸಾಂತಗಣ, ವಾಸ್ತವ ಸರಳರೇಖೆಯ (line of real numbers) ಮೇಲಣ ಬಿಂದುಗಳ ಗಣ, (0,1) ಅಂತರದಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿರುವ ವಾಸ್ತವ ಬೆಲೆಗಳುಳ್ಳ (real values) ಅವಿಚ್ಛಿನ್ನ ಉತ್ಪನ್ನಗಳ ಗಣ (set of continuous functions), ಗಣಗಳ ಗಣ (set of sets). ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಗಣ ಎಂಬುದು ವಸ್ತು ಮಾದರಿ ಸಮೂಹಗಳ ನಿರೂಪಣೆಯೇ ಹೊರತು, ವಸ್ತು ನಿದರ್ಶನ ಗಳ ಸಮೂಹವಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ, ಪ = {೨ ಹಸು, ೩ ಕಾಗೆ, ೫ ಕೋಳಿ, ೧ ಸಿಂಹ, ಹುಲಿ, ಹುಲಿ} ಎಂಬುದು ತಪ್ಪಾದ ನಿರೂಪಣೆ. ವಸ್ತು ನಿದರ್ಶನಗಳ ಸಮೂಹಗಳನ್ನು, ಆವಳಿ-ಗಣ (multi-set) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಣಗಳ ಲಕ್ಷಣಗಳು ಆವಳಿ-ಗಣಗಳಿಗಿಂತ ವಿಭಿನ್ನವಾದುದು.

ಗಣಗಳ ನಿರೂಪಣೆ ಯಾವುದೇ ಅನ್ವಯವನ್ನು ಹೊಂದಿರುವುದಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ {೨, ೪, ೬, ೮} ಮತ್ತು {೪, ೨, ೮, ೬} ಇವೆರಡು ಗಣಗಳೂ ಒಂದೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಗಣಗಳು ಒಂದೇ ಮಾದರಿಯ ವಸ್ತು ಸಮೂಹವನ್ನು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತವೆ. ಆದ್ದರಿಂದ {೧, ೨, ೩, ಹಸು} ಎಂಬ ಗಣ ನಿರೂಪಣೆ, ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ ತಪ್ಪೆಂದು ಭಾವಿಸಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸದಸ್ಯತ್ವ

ಟೆಂಪ್ಲೇಟು:Center

ಯಾವುದೆ ಒಂದು ಗಣ U ನಲ್ಲಿ ಸೇರುವ ಎಲ್ಲಾ ವಸ್ತುಗಳೂ U ನ ಸದಸ್ಯಗಳು ಅಥವಾ ಧಾತುಗಳೆಂದು ಕರೆಯಲ್ಪಡುತ್ತವೆ. a ∈ A ಎಂದರೆ a ಎಂಬ ವಸ್ತು A ಗಣದ ಒಂದು ಧಾತು. ಗಣದಲ್ಲಿ ಅನಂತ ಸದಸ್ಯರು ಇದ್ದಲ್ಲಿ, ಅದನ್ನು "ಅನಂತ ಗಣ"ವೆಂದೂ, ಇಲ್ಲವಾದರೆ, "ಸಾಂತಗಣ"ವೆಂದೂ ಹೇಳಲಾಗುತ್ತದೆ. ಗಣಗಳ ಸದಸ್ಯ ವಸ್ತುಗಳು, ತಾವೆ ಗಣಗಳಾಗಿರಬಹುದು. ಆದ್ದರಿಂದ {{೧,೨}, {೩,೪}} ಎಂಬುದು, ಎರಡು ಸದಸ್ಯರುಳ್ಳ ಗಣ. ಈ ಎರಡೂ ಸದಸ್ಯರು, ತಾವೇ ಗಣಗಳಾಗಿದ್ದು, ಎರಡರಲ್ಲೂ, ಪ್ರತ್ಯೇಕ ೨-ಸದಸ್ಯ ಗಣಗಳು ಇವೆ. ಸಾಮಾನ್ಯವಾಗಿ, ಗಣಗಳು ತಾವೇ ತಮ್ಮ ಸದಸ್ಯರಾಗಲು ಸಾಧ್ಯವಿಲ್ಲ. ಆದ್ದರಿಂದ ಪ = {{೧,೨}, {೩,೪}, ಪ} ಎಂಬುದು ತಪ್ಪಾದ ನಿರೂಪಣೆ. ಈ ಪ್ರಮಾಣವನ್ನು, ಅಡಿಪಾಯ ಆಧಾರ ಸೂತ್ರ (Axiom of Foundation) ಎಂದು ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ. ಇದು, ರಸೆಲ್ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳಂಥ ಸನ್ನಿವೇಶಗಳನ್ನು ತಡೆಗಟ್ಟಲು ಸಹಾಯಕವಾಗಿರುವುದು. ಹಾಗಾಗಿಯೂ, ಇತ್ತೀಚಿಗೆ, ವಿರೋಧಾಭಾಸವಿಲ್ಲದೆಯೆ ಗಣಗಳಿಗೆ ಸ್ವ-ಸದಸ್ಯತ್ವವನ್ನು ನೀಡಬಹುದು ಎಂದು ನಿರೂಪಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇಂತಹ ಗಣಗಳನ್ನು "ಸಾಧಾರವಿಲ್ಲದ" ಗಣಗಳೆಂದು (non-wellfounded sets) ಕರೆಯಲಾಗುತ್ತದೆ.

ಸಂಖ್ಯತ್ವ ಮತ್ತು ಗಾತ್ರ

ಯಾವುದೇ ಗಣ 'ಪ' ದಲ್ಲಿ ಎಷ್ಟು ಸದಸ್ಯರಿದ್ದಾರೋ ಅದೇ ಅದರ "ಸಂಖ್ಯತ್ವ" (cardinality). ಪ-ಗಣದ ಸಂಖ್ಯತ್ವವನ್ನು |ಪ| ಎಂದು ಬರೆಯಲಾಗುತ್ತೆ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, ಪ ಎಂಬುದು {{೧,೨}, ೩, ೪, {೫,೬}} ಆದರೆ, |ಪ| = ೪. ಗಮನಿಸಿ, ಯಾವುದೇ ಗಣ ಎ, ಇನ್ನೊಂದು ಗಣ ಪ ದ ಸದಸ್ಯವಾದಲ್ಲಿ, ಪ-ಗಣದ ಸಂಖ್ಯತ್ವದ ಎಣಿಕೆಯಲ್ಲಿ ಎ ಅನ್ನು ಒಂದೇ ಬಾರಿ ಏಣಿಸಲಾಗುತ್ತೆ. ಎ ಎಂಬುದು ತಾನೇ ಒಂದು ಅನಂತ ಗಣವಾಗಿರಬಹುದು; ಆದರೆ, ಪ-ಸದಸ್ಯತ್ವದ ಪ್ರಕಾರ, ಎ ಎಂಬುದು ಒಂದೇ ಸದಸ್ಯ. ಪ ಮತ್ತು ಮ ಎಂಬ ಎರಡು ಗಣಗಳು ಇದ್ದಲ್ಲಿ, ಮತ್ತು ಪ ಗಣದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸದಸ್ಯರಿಗೂ ಮ ಗಣದಿಂದ ಏಕೈಕ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವಂತಾದಲ್ಲಿ, ಹಾಗೆಯೆ ಮ ಗಣದ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಸದಸ್ಯರಿಗೂ ಪ ಗಣದಿಂದ ಒಂದು ಏಕೈಕ ಸದಸ್ಯರನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡುವಂತಾದಲ್ಲಿ, ಪ ಮತ್ತು ಮ ಗಣಗಳು "ಸಮಗಾತ್ರ ಗಣ"ಗಳೆಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತೆ. ಸಾಂತಗಣಗಳ ಗಾತ್ರಗಳನ್ನು ಅವುಗಳ ಸಂಖ್ಯತ್ವಗಳ ಮೂಲಕ ಸುಲಭವಾಗಿ ಹೋಲಿಸಬಹುದು. ಆದರೆ, ಅನಂತ ಗಣಗಳಿಗೆ ಇದು ಅಷ್ಟು ಸುಲಭವಲ್ಲ. ಉದಾಹರಣೆಗೆ, "ಸ್ವಾಭಾವಿಕ ಸಂಖ್ಯೆ" (Natural numbers N) ನ = {೧, ೨, ೩,...} ಮತ್ತು "ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆ" (Integers Z) ಜ಼ = {..., -೩, -೨, -೧, ೦, ೧, ೨, ೩,...}, ಇವೆರಡೂ ಗಣಗಳ ಗಾತ್ರವೂ ಒಂದೆ.

ಪ್ರತಿಯೊಂದು ನೈತಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಗೂ ಒಂದು ಏಕೈಕವಾದ ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಹಾಗೆಯೇ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಪೂರ್ಣ ಸಂಖ್ಯೆಗೂ ಒಂದು ಏಕೈಕವಾದ ನೈತಿಕ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆಯ್ಕೆ ಮಾಡಬಹುದು. ಆದರೆ, "ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆ" (Real numbers R) ಗಣದ ಗಾತ್ರವು ನೈತಿಕಸಂಖ್ಯೆಗಳಿಗಿಂತ ದೊಡ್ಡದು! ಎಲ್ಲಾ ಅನಂತ ಗಣಗಳೂ ಒಂದೇ ಗಾತ್ರವಲ್ಲ ಎಂಬುದು ಗಣ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಒಂದು ಮಹತ್ವವಾದ ನಿರೂಪಣೆ. ಇದನ್ನು ಗಿಯೋರ್ಗ್ ಕಾಂಟೋರ್‌ನ ಕರ್ಣ ವಾದ (diagonal argument) ಎಂದು ಹೇಳಲಾಗುತ್ತೆ.

ಉಪಗಣ

A ⊆ B (ಅಥವಾ B ⊆ A) ಎಂದರೆ A ಗಣ B ಯ ಉಪಗಣ. ಅಥವಾ A ಯ ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಧಾತುವೂ B ಯ ಧಾತು. ವಿಶೇಷ ಸಂದರ್ಭವಾಗಿ, ಪ್ರತಿಯೊಂದು ಗಣವೂ ಅದರದೇ ಉಪಗಣ. A ⊆ B ಮತ್ತು B ⊆ A ಆದಾಗ ಮಾತ್ರ A = B.

ಮೂಲಭೂತ ಪರಿಕರ್ಮಗಳು

I ಎಂಬುದು ಅನುಕ್ರಮಣಿಕೆ (ಇಂಡೆಕ್ಸ್ಡ್) ಇರುವ ಗಣವಾಗಿರಲಿ. {Ai}_iEI ಗಣಗಳ ಒಂದು ವ್ಯೂಹವಾಗಿರಲಿ (array of sets). x ಎಂಬುದು ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ಗಣ A_i ಗಾದರೂ ಧಾತುವಾಗಿದ್ದರೆ ಇಂಥ ಧಾತುಗಳ ಗಣಕ್ಕೆ {Ai}_iEI ಗಣಗಳ ಸಂಯೋಗ (ಯೂನಿಯನ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಇದನ್ನು $\bigcup _{I\in i}{A}_i$ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. ε ಎಂಬುದು ಪ್ರತಿಯೊಂದು A_i ಗಣದ ಧಾತುವಾಗಿದ್ದರೆ ಇಂಥ ಧಾತುಗಳ ಗಣಕ್ಕೆ {Ai}_iEI ಗಣಗಳ ಛೇದನ (ಇಂಟರ್ಸೆಕ್ಷನ್) ಎಂದು ಹೆಸರು. ಇದನ್ನು $\bigcap _{iϵI}{A}_i$ ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. I ಧನಪೂರ್ಣಾಂಕಗಳ (positive integer) ಗಣವಾಗಿದ್ದರೆ $\bigcup _{I\in i}{A}_i$ ಮತ್ತು $\bigcap _{iϵI}{A}_i$ ಎಣಿಕೆಮಾಡಬಲ್ಲ (ಕೌಂಟೆಬಲ್) ಸಂಯೋಗ ಛೇದಗಳಾಗುತ್ತವೆ. ಧಾತುವೇ ಇಲ್ಲದ ಗಣಕ್ಕೆ ಶೂನ್ಯಗಣ ಎಂದು ಹೆಸರು. ಉದಾಹರಣೆಗೆ $\chi \ne \chi$  ಆಗಿರುವಂಥ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆ $\chi$ ಗಳ ಗಣ ಶೂನ್ಯ ಗಣ. ಶೂನ್ಯಗಣವನ್ನು ∅ ಎಂದು ಬರೆಯುತ್ತೇವೆ. A ∩ B = ∅ ಆದಾಗ ಮಾತ್ರ A, B ಗಣಗಳನ್ನು ಅಚ್ಛೇದ್ಯ (ಡಿಸ್ಜಾಯಿಂಟ್) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.