ಮಾನ ಇಗೆ ಮೂಲವನ್ನು ವಿಕ್ಷಿಸಿ

[[ಗಣಿತ|ಗಣಿತದಲ್ಲಿ]], '''ಮಾನ'''ದ ಪರಿಕಲ್ಪನೆಯು [[ರೇಖಾಗಣಿತ|ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ]] ಅಳತೆಗಳು ([[:en:Length|ಉದ್ದ]], [[:en:Area|ಸಲೆ]], [[:en:Volume|ಘನ ಅಳತೆ]]) ಮತ್ತು ವೈಶಾಲ್ಯ, [[ದ್ರವ್ಯರಾಶಿ]] ಹಾಗೂ ಘಟನೆಗಳ [[ಸಂಭಾವ್ಯತೆ|ಸಂಭಾವ್ಯತೆಯಂತಹ]] ಇತರ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾವನೆಗಳ ಸಾಮಾನ್ಯೀಕರಣ ಮತ್ತು ವಿಧ್ಯುಕ್ತಗೊಳಿಸುವಿಕೆಯಾಗಿದೆ.

'''ಮಾನಸಿದ್ಧಾಂತ''' ಎಂದರೆ `ಉದ್ದ' ಎಂಬ ಸಾಮಾನ್ಯ ಭಾವನೆಯನ್ನು ಆದರ್ಶೀಕರಿಸಿ [[:en:Set theory|ಗಣಸಿದ್ಧಾಂತಕ್ಕೆ]] ಅನ್ವಯಿಸಿ ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಿಸಿ ಪಡೆದ ಸಿದ್ಧಾಂತ (ಮೆಷರ್ ತಿಯರಿ).

== ವ್ಯಾಖ್ಯೆಗಳು ==
ಎಲ್ಲ [[ನೈಜ ಸಂಖ್ಯೆ|ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆಗಳ]] [[ಗಣ (ಗಣಿತ)|ಗಣ]] '''''R''''' ನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಇವನ್ನು ಸರಳರೇಖೆಯ ಮೇಲಿನ [[:en:Point (geometry)|ಬಿಂದುಗಳ]] ಮೂಲಕ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸುವುದು ವಾಡಿಕೆ. ಸರಳರೇಖೆ ತೆಗೆದುಕೊಂಡು ಅದರ ಮೇಲೆ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು '''''0''''' ವನ್ನು [[:en:Origin (mathematics)|ಮೂಲಬಿಂದುವೆಂದು]] ಆಯುತ್ತೇವೆ.
[[ಚಿತ್ರ:Real number line.svg|center|thumb|300x300px]]

'''''R''''' ನಲ್ಲಿ [[ಸೊನ್ನೆ|ಶೂನ್ಯ]] [[ಸಂಖ್ಯೆ]] 0 ಯನ್ನು ಇದು ನಿರೂಪಿಸುತ್ತದೆ. ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ ಈ ಬಿಂದುವಿನ ಬಲಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಎಲ್ಲ ಧನವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನೂ, ಎಡಪಾರ್ಶ್ವದಲ್ಲಿರುವ ಬಿಂದುಗಳ ಮೂಲಕ ಎಲ್ಲ ಋಣವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನೂ ನಿರೂಪಿಸುತ್ತೇವೆ. ಈ ರೇಖೆಯ ಮೇಲೆ '''''A, B''''' ಬಿಂದುಗಳು '''''a, b''''' ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ನಿರೂಪಿಸಲಿ. ಇಲ್ಲಿ '''''a ≤ b''''' ಎಂದು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ.

'''ಅಂತರ''': ಈಗ '''''[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}''''' ಎಂಬ '''''R''''' ನ [[:en:Subset|ಉಪಗಣವನ್ನು]] ಒಂದು ಸಂವೃತಾಂತರ ([[:en:Interval (mathematics)|ಕ್ಲೋಸ್ಡ್ ಇಂಟರ್ವಲ್]]) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.<ref name="strichartz">{{cite book|url=https://books.google.com/books?id=Yix09oVvI1IC&pg=PA86|title=The Way of Analysis|last=Strichartz|first=Robert S.|publisher=Jones & Bartlett Publishers|year=2000|isbn=0-7637-1497-6|page=86}}</ref> ಹೀಗೆಯೇ '''''(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}''''' ಉಪಗಣವನ್ನು ಒಂದು ವಿವೃತಾಂತರ (ಓಪನ್ ಇಂಟರ್ವಲ್) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಈಗ '''''a-b''''' ಎನ್ನುವ ಅನೃಣವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು '''''[a,b]''''' ಅಥವಾ '''''(a, b)''''' ಅಂತರದ ಅಥವಾ '''''AB''''' [[:en:Line segment|ರೇಖಾಖಂಡದ]] ಉದ್ದ ಎಂದು ಕರೆದು '''''b-a = I [a, b] = {a}'''''. ಇದು ಕೇವಲ ವಿಶಿಷ್ಟ ಪರಿಸ್ಥಿತಿಯಲ್ಲಿ '''''b-a = 0'''''. ಇಲ್ಲಿ '''''[a, b] = {a}'''''. ಇದು ಕೇವಲ ಒಂದು ಬಿಂದುವಿನಿಂದಾದ ಗಣ. ಹೀಗಾಗಿ ಒಂದು ಬಿಂದು ಅಂತರದ ಉದ್ದ '''''0''''' ಎಂದಾಯಿತು.

=== ವಿಧಿಸಂಧಿತ, ಪರಸ್ಪರ ಸಂಧಿತ ಮತ್ತು ವಿಸಂಧಿತ ಗಣಗಳು ===
'''''S''''' ಒಂದು ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯಾ ಗಣವಾಗಿರಲಿ. ಇದು '''''[a, b], (a, b), [a,b)''''' ಅಥವಾ '''''(a, b]''''' ಯಂಥ ಒಂದು ಅಂತರವಾದರೆ '''''(b-a)''''' ಯು '''''S''''' ನ ಉದ್ದವೆಂದು ಹೇಳಿದ್ದು ಸರಿಯಷ್ಟೆ. ಈಗ '''''S''''' ಗಣ '''''I<sub>1</sub> = [a, b]''''' ಮತ್ತು '''''I<sub>2</sub> = [c, d]''''' [[:en:Union (set theory)|ಸಂಯೋಗವಾಗಿದ್ದು]] '''''I<sub>1</sub>''''' ಮತ್ತು '''''I<sub>2</sub>''''' ಗಳು ಪರಸ್ಪರ ವಿಧಿಸಂಧಿತವಾಗಿದ್ದರೆ ([[:en:Disjoint sets|ಡಿಸ್‌ಜಾಯಿಂಟ್]]) ಎಂದರೆ '''''S = I<sub>1</sub>'' ∪ ''I<sub>2</sub>''''' ಮತ್ತು '''''I<sub>1</sub> ∩ I<sub>2</sub> = ϕ''''' [[:en:Empty set|ಶೂನ್ಯ ಗಣ]] ಆದರೆ '''''S''''' ನ ಉದ್ದ '''''I(S) = (b-a) + (d-c) = I(I<sub>1</sub>) + I(I<sub>2</sub>)''''' ಎಂದು ಹೇಳಬಹುದು. ಒಂದು ವೇಳೆ '''''a,b,c,d''''' ಸಂಖ್ಯೆಗಳು '''''a<c<b<d''''' ಆಗಿದ್ದರೆ '''''S = I<sub>1</sub> ''∪ ''I<sub>2</sub> = {x∈ R'' | ''a ≤ x ≤ d} ∴ l(S) = l(AD) = d - a < (b-a) + (d-c) = l(I<sub>1</sub>) + l(I<sub>2</sub>)'''''. ಹೀಗಾಗಿ '''''S''''' ಎಂಬುದು ಎರಡು ಅಂತರಗಳ ಸಂಯೋಗ. '''S = I<sub>1</sub> ∪ I<sub>2</sub>''' ಆದಾಗ '''''l(S) ≤ l(I<sub>1</sub>) + l(I<sub>2</sub>)''''' ಎಂದು ತೋರಿಬರುತ್ತದೆ.

'''''S''''' ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಒಂದು ಗಣವಾಗಿರಲಿ. ಈಗ '''''x,y ∈ S''''' ಆಗಿದ್ದು ಇವರೆರಡನ್ನೂ ಒಳಗೊಂಡ ಒಂದು ಅಂತರ ಕೇವಲ '''''S''''' ನ ಬಿಂದುಗಳಿಂದಲೇ ಕೂಡಿರುವಂತಿದ್ದರೆ '''''x''''' ಮತ್ತು '''''y''''' ಪರಸ್ಪರ ಸಂಧಿತ (ಕನೆಕ್ಟೆಡ್) ಬಿಂದುಗಳೆಂದೂ ಅಂಥ ಯಾವ ಅಂತರವೂ ಇಲ್ಲದೆ ಇದ್ದರೆ '''''x''''' ಮತ್ತು '''''y''''' ಪರಸ್ಪರ ವಿಸಂಧಿತಬಿಂದುಗಳೆಂದೂ ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ವಾಸ್ತವಗಣ '''''S''''' ನ ಬಿಂದುಗಳೆಲ್ಲವೂ ವಿಸಂಧಿತಗಳಾದಾಗ ಅದನ್ನು ವಿಸಂಧಿತ ಗಣವೆಂದು (disconnected set) ಕರೆಯೋಣ. ಇಂಥ ಒಂದು ಗಣದ ಉದ್ದ '''''l(S) =''''' ಇದರ ಎಲ್ಲ ಬಿಂದುಗಳ ಉದ್ದಗಳ ಮೊತ್ತ '''''= 0 + 0 + …… = 0''''' ಎಂದು ತಿಳಿಯಬಹುದು.

== ಮಾನದ ಭಾವನೆಯ ಅಗತ್ಯತೆ ==
ಈಗ ಒಂದು ಸಮಸ್ಯೆ ಉದ್ಭವಿಸುತ್ತದೆ: '''''I = {x ∈ R | a < x < b}''''' ಆಗಿರಲಿ. ಇದರ ಉದ್ದ '''''l(I) = b-a ≠ 0'''''. '''''I''''' ನಲ್ಲಿರುವ ಎಲ್ಲ [[:en:Rational number|ಪರಿಮೇಯ (ರ‍್ಯಾಶನಲ್) ಸಂಖ್ಯೆಗಳ]] ಉಪಗಣವನ್ನು '''''I<sub>1</sub>''''' ಎಂದೂ, ಇದರಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲ [[:en:Irrational number|ಅಪರಿಮೇಯ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ]] ಉಪಗಣವನ್ನು '''''I<sub>2</sub>''''' ಎಂದೂ ಸೂಚಿಸಿದರೆ '''''I = I<sub>1</sub>'' ∪ ''I<sub>2</sub>''''', '''''I<sub>1</sub> ∩ I<sub>2</sub> = ϕ''''' ಹಾಗೂ '''''I<sub>1</sub>''''' ಮತ್ತು '''''I<sub>2</sub>''''' ಒಂದೊಂದೂ ವಿಸಂಧಿತಗಣಗಳು ಎಂದೂ ತಿಳಿದುಬರುತ್ತದೆ. '''''∴ l(I<sub>1</sub>)=0=l(I<sub>2</sub>)'''''. ಆದರೆ '''''b – a = l(I) = l(I<sub>1</sub>) + l(I<sub>2</sub>) = 0 + 0 = 0'''''. ಇದು '''''b-a ≠ 0''''' ಎಂಬ ಹಿಂದಿನ ವಾಸ್ತವಾಂಶವನ್ನು ವಿರೋಧಿಸುತ್ತದೆ. ಇದರಿಂದ ದತ್ತಗಣಗಳ ಉದ್ದವನ್ನು ಗಣಿಸಲು ಅವುಗಳ ಉಪಗಣಗಳ ಉದ್ದಗಳನ್ನು ಯಾಂತ್ರಿಕವಾಗಿ ಕೂಡಿಸಿದರೆ ಕೆಲವು ಸಲ ವಿರೋಧಾಭಾಸಗಳು ಏಳುತ್ತವೆ ಎಂದು ತಿಳಿದಹಾಗಾಯಿತು. ಈ ನ್ಯೂನತೆಯನ್ನು ಪರಿಹರಿಸಲು ಉದ್ದವೆಂಬ ಭಾವನೆಯನ್ನು ಒಂದು ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಆವಿಷ್ಕರಿಸಿ ಗಣಗಳ '''ಮಾನ''' (ಮೆಷರ್) ಎನ್ನುವ ನವ್ಯ ಭಾವನೆಯನ್ನು ಪರಿಕಲ್ಪಿಸಬೇಕಾಯಿತು. ಈ ದಿಶೆಯಲ್ಲಿ ಬಲು ಫಲಪ್ರದವೂ ಪ್ರಯೋಜನಕರವೂ ಆದ [[:en:Lebesgue measure|ಲೆಬೇಗ್ ಮಾನ]] ಎಂದು ಹೆಸರಾಂತ ಸಿದ್ಧಾಂತದ ಮೂಲ ಸ್ವರೂಪವನ್ನು ಮುಂದೆ ಸ್ಥೂಲವಾಗಿ ವಿವರಿಸಲಾಗಿದೆ. ಇದರ ಪ್ರತಿಪಾದಕ [[:en:Henri Lebesgue|ಎಚ್.ಎಲ್.ಲೆಬೇಗ್]] (1875-1941) ಎಂಬ ವಿಖ್ಯಾತ [[ಫ್ರಾನ್ಸ್|ಫ್ರೆಂಚ್]] ಗಣಿತವಿದ.

== ಗಣಉತ್ಪನ್ನಗಳು (ಸೆಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್ಸ್) ==
'''''A''''' ಗಣಗಳ ಒಂದು ಸಮೂಹವಾಗಿರಲಿ (family). ಈಗ '''''A''''' ಗೆ ಸೇರಿದ ಸಮಸ್ತ '''''S''''' ಮತ್ತು '''''T''''' ಗಳಿಗೂ '''''S'' ∪ ''T ∈ A''''' ಮತ್ತು '''''S – T ∈ A''''' ಆಗುವಂತಿದ್ದರೆ '''''A''''' ಯನ್ನು ಗಣಗಳ ಒಂದು [[:en:Ring of sets|ವಲಯವೆನ್ನುತ್ತೇವೆ]].<ref>{{citation|title=Measure Theory and Integration|first=Gar|last=De Barra|publisher=Horwood Publishing|year=2003|isbn=9781904275046|page=13}}.</ref> ಇಷ್ಟರ ಮೇಲೆ '''''A''''' ಯ ಎಲ್ಲ '''''{A<sub>1</sub>, A<sub>2</sub>, A<sub>3</sub>,……………}''''' ಶ್ರೇಣಿಗಳಿಗೂ <math>\bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n}</math> ಸಹ '''''A''''' ಯ ಒಂದು ಗಣವೇ ಆದರೆ '''''A''''' ಯನ್ನು ಒಂದು [[:en:Sigma-ring|σ ವಲಯವೆಂದು]] ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಇಂಥ ಒಂದು ವಲಯದಲ್ಲಿ <math>\bigcap_{n=1}^{\infty} A_{n} \in A</math> ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು.

'''''R''''' ಎಲ್ಲ ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆಗಳ ಗಣ. ಇದರ ಜೊತೆಗೆ ಋಣ ಮತ್ತು ಧನ [[ಅನಂತ|ಅನಂತಗಳೆಂದು]] ಕರೆಯಲಾಗುವ ಮತ್ತು <math>-\infty</math> ಹಾಗೂ <math>+\infty</math> ಪ್ರತೀಕಗಳಿಂದ ರೂಪಿತವಾಗುವ ಎರಡು ಹೊಸ [[:en:Element (mathematics)|ಧಾತುಗಳನ್ನು]] ಸೇರಿಸಿ <math>R = R \cup \{ -\infty, +\infty \}</math> ಎಂಬ '''''R''''' ನ ಎಂದು ವಿಸ್ತರಣವನ್ನು (extension) ಪಡೆಯೋಣ. ಇಲ್ಲಿ <math>\bar{R}</math> ನ್ನು [[:en:Extended real number line|ವಿಸ್ತರಿತ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯಾಗಣವೆಂದು]] ಕರೆಯುತ್ತಾರೆ. ಇದರ ಧಾತುಗಳನ್ನು ವಿಸ್ತರಿತ ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳೆಂದು (extended real numbers) ಕರೆಯೋಣ.

'''''a''''' ಗಣಗಳ ಒಂದು ಸಮೂಹವಾಗಿರಲಿ. ಈಗ '''''a''''' ಯನ್ನು ಪ್ರಾಂತವಾಗಿಯೂ (ಡೊಮೇನ್) '''''R''''' ನಲ್ಲಿ ವ್ಯಾಪ್ತಿ (ರೇಂಜ್) ಹೊಂದಿರುವುದಾಗಿಯೂ ಇರುವ ಎಲ್ಲ ಚಿತ್ರಣಗಳ (ಮ್ಯಾಪಿಂಗ್) ಗಣ ಉತ್ಪನ್ನ ([[:en:Set function|ಸೆಟ್ ಫಂಕ್ಷನ್]]) ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ.

== ಸಂಕಲನೀಯ ಗಣ ಉತ್ಪನ್ನಗಳು ==
'''''f: A → R''''' ಒಂದು ದತ್ತ ಗಣ ಉತ್ಪನ್ನವಾಗಿರಲಿ.

<math>\forall A, B \in A, A \cap B = \phi</math> ಎಂದರೆ '''''A, B''''' ಪರಸ್ಪರ ವಿಸಂಧಿತಗಳಾದಾಗಲೆಲ್ಲ '''''f(A'' ∪ ''B) ≤ f(B)''''' ಆಗುವಂತಿದ್ದರೆ '''''f''''' ಒಂದು ಉಪಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನವೆಂದು ([[:en:Subadditive set function|ಸಬ್‌ಆ್ಯಡಿಟಿವ್ ಸೆಟ್‍ಫಂಕ್ಷನ್]]) ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ.<ref name="UF">{{cite journal|first=Uriel|last=Feige|authorlink=Uriel Feige|title=On Maximizing Welfare when Utility Functions are Subadditive|journal=SIAM Journal on Computing|volume=39|issue=1|year=2009|pages=122–142|doi=10.1137/070680977}}</ref><ref name="DNS">{{cite journal|first1=Shahar|last1=Dobzinski|first2=Noam|last2=Nisan|first3=Michael|last3=Schapira|authorlink2=Noam Nisan|title=Approximation Algorithms for Combinatorial Auctions with Complement-Free Bidders|journal=[[Mathematics of Operations Research]]|volume=35|issue=1|year=2010|pages=1–13|doi=10.1145/1060590.1060681|s2cid=2685385|citeseerx=10.1.1.79.6803}}</ref> ಮೇಲಿನ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ '''''<''''' ಚಿಹ್ನೆ ಇಲ್ಲದೆ <math>\forall A, B \in A, A \cap B = \phi</math>, '''''f(A'' ∪ ''B) = f(A) + f(B)''''' ಆಗುವಂತಿದ್ದರೆ '''''f''''' ಒಂದು ಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನವೆನ್ನಿಸುತ್ತದೆ (additive set function).

'''''A''''' ಯಲ್ಲಿ '''''{A<sub>n</sub>}, n=1,2,3,…….''''' ಎಂಬುದು ಒಂದು ಶ್ರೇಣಿ ಆಗಿದ್ದು ಇದರ ಗಣಗಳು ಪರಸ್ಪರ ವಿಸಂಧಿತವಾಗಿದ್ದರೆ, ಎಂದರೆ '''''i ≠ j''''' ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ '''''A<sub>i</sub> ∩ A<sub>j</sub> = ϕ''''' ಆಗುವಂತಿದ್ದರೆ ಗಣೋತ್ಪನ್ನ <math>f\left (\bigcup_{n=1}^{\infty} A_n \right ) \leq \sum_{n=1}^{\infty} f(A_n)</math> ಎಂಬ ಸಂಬಂಧ ಪಾಲಿಸಿದರೆ '''''f''''' ಒಂದು ಗಣನೀಯ ಉಪಸಂಕಲನೀಯ (ಕೌಂಟೆಬ್ಲಿ ಸಬ್‌ಆ್ಯಡಿಟಿವ್) ಗಣೋತ್ಪನ್ನವೆಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. ವಿಶಿಷ್ಟವಾಗಿ ಮೇಲಿನ ಸಂಬಂಧದಲ್ಲಿ '''''<''''' ಇಲ್ಲದೆ ಕೇವಲ '''''=''''' ಚಿಹ್ನೆ ಇರುವುದಾದರೆ '''''f''''' ಒಂದು ಗಣನೀಯ ಸಂಕಲನೀಯ ಗಣ ಉತ್ಪನ್ನವೆನಿಸುವುದು (countably additive set function).{{sfn|Durrett|2019|pp=466-470}}

== ಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನಗಳ ಗುಣ ವಿಶೇಷಗಳು ==
<math>f: A \to \bar{R}</math> ಒಂದು ಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನವಾಗಿರಲಿ. ಈಗ

(i) '''''f(ϕ) = 0'''''

(ii) '''''A<sub>1</sub>, A<sub>2</sub>, …………A<sub>n</sub>''''' ಪರಸ್ಪರ ವಿಸಂಧಿತವಾಗಿದ್ದರೆ '''''f(A<sub>1</sub>'' ∪ ''A<sub>2</sub>'' ∪ ''A<sub>3</sub>'' ∪''....'' ∪ ''A<sub>n</sub>) = f(A<sub>1</sub>) + f(A<sub>2</sub>) + ……. + f(A<sub>n</sub>)'''''

(iii) '''''f''''' ಅನೃಣವಾಗಿದ್ದಾಗ '''''A'' ⊂ ''B''''' ಆದರೆ '''''f(A) ≤ f(B)'''.'' ಇದರಿಂದ '''''f(A-B) = f(A) – f(B)''''' ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು. ಇಲ್ಲಿ <math>f(B) < \infty</math> ಎಂದು ಭಾವಿಸಿದೆ.

(iv) '''''f''''' ಒಂದು ಗಣನೀಯ ಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನವೂ, '''''{A<sub>n</sub>}''''' ಶ್ರೇಣಿಯಲ್ಲಿ '''''A<sub>1</sub> ''⊂ ''A<sub>2</sub> ''⊂ ''A<sub>3</sub>…………''⊂ ''A<sub>n</sub>'''''  ಮತ್ತು <math>A = \bigcup_{n=1}^{\infty} A_{n}</math>  ಆಗಿದ್ದರೆ ಆಗ <math>f(A_n) \to f(A), n \to \infty</math> ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು.

== ಲೆಬೇಗ್‌ಮಾನದ ರಚನೆ ==
'''''R<sup>n</sup>''''' ಎಂಬುದು '''''n''''' [[ವಿಮಿತಿ|ಆಯಾಮದ]] [[:en:Euclidean space|ಯೂಕ್ಲಿಡಿಯನ್ ಆಕಾಶ]] ಆಗಿರಲಿ. ಇದರ ಬಿಂದುಗಳು '''''x = (x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, ……….., x<sub>n</sub>)''''' ರೂಪದಲ್ಲಿ '''''n''''' ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆ '''''x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, ……….., x<sub>n</sub>''''' ಗಳ ಕ್ರಮಯುತ ಜೋಡಣೆಗಳು. '''''a<sub>i</sub> ≤ b<sub>i</sub>, i = 1, 2,…….n''''' ಇವು ದತ್ತ '''''2n''''' ವಾಸ್ತವ ಸಂಖ್ಯೆಗಳಾಗಿರಲಿ. ಈಗ '''''a<sub>i</sub> ≤ x<sub>i</sub> ≤ b<sub>i</sub>, i = 1,2…………..n''''' ಆಗಿರುವಂಥ ಎಲ್ಲ ಬಿಂದು '''''x = (x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, ……….., x<sub>n</sub>)''''' ಗಳಿಂದ ಏರ್ಪಡುವ '''''R<sup>n</sup>''''' ನ ಉಪಗಣವನ್ನು '''''R<sup>n</sup>''''' ನ ಒಂದು ಅಂತರ ಎನ್ನುತ್ತೇವೆ. ಇಲ್ಲಿಯ '''''≤''''' ಚಿಹ್ನೆಗಳಲ್ಲಿ ಯಾವುದು ಬೇಕಾದರೂ '''''<''''' ಎಂದೇ ಇರಬಹುದು. '''''R<sup>n</sup>''''' ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಪರ್ಯಾಪ್ತ ಸಂಖ್ಯೆಯಷ್ಟು ಅಂತರಗಳ ಸಂಯೋಗವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದಾದ ಎಲ್ಲ ಉಪಗಣಗಳನ್ನೂ ಮೂಲಗಣಗಳು (ಎಲಿಮೆಂಟರಿ ಸೆಟ್ಸ್) ಎಂದು ಕರೆಯೋಣ. ಈಗ ಅಂತರ '''''I = { (x<sub>1</sub>,………….,x<sub>n</sub>) | a<sub>i</sub> ≤ x<sub>i</sub> ≤ b<sub>i</sub>}''''' ಆದರೆ '''''m(I) = (b<sub>1</sub>-a<sub>1</sub>)(b<sub>2</sub>-a<sub>2</sub>)………(b<sub>n</sub>-a<sub>n</sub>) =''''' <math>\prod_{i=1}^{n} (b_i - a_i)\ *</math> ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸೋಣ. ಇಲ್ಲಿ ಯಾವುದಾದರೂ '''''a<sub>j</sub> = b<sub>j</sub>''''' ಇರಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ '''''0 ≤ m(I)''''' ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ತಿಳಿದುಬರುತ್ತದೆ. ಹಾಗೂ ಯಾವುದಾದರೂ '''''b<sub>j</sub>''''' ಯು <math>+\infty</math> ಆಗಿರಬಹುದಾದ್ದರಿಂದ <math>m(l) = \infty</math> ಆದರೂ ಆಗಬಹುದು. ಹೀಗಾಗಿ <math>0 \leq m(l) \leq +\infty</math> ಎಂದರೆ '''''m(I)''''' ಒಂದು ಅನೃಣ ವಿಸ್ತರಿತ ವಾಸ್ತವಸಂಖ್ಯೆ. ಈಗ '''''A''''' ಯು '''''R<sup>n</sup>''''' ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಮೂಲ ಗಣವಾದರೆ ಎಂದರೆ '''''A = I<sub>1</sub>'' ∪ ''I<sub>2</sub>'' ∪ ''....'' ∪ ''I<sub>k</sub>''''' ಎಂದು ಪರಸ್ಪರ ವಿಸಂಧಿತ ಆಕಾಶಗಳ ಸಂಯೋಗವಾಗಿ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದಾದರೆ,

'''''m(A)= m(I<sub>1</sub>) + m(I<sub>2</sub>) +……….. + m(I<sub>k</sub>)     .... * *''''' ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸೋಣ. ಈಗ '''''A = J<sub>1</sub>'' ∪ ''J<sub>2</sub>'' ∪ ''....'' ∪ ''J<sub>s</sub>''''' ಎಂಬುದಾಗಿ '''''A''''' ಯನ್ನು ಬೇರೊಂದು ವಿಧದಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ವಿಸಂಧಿತ ಅಂತರಗಳ ಸಂಯೋಗದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾದರೆ,

'''''m(I<sub>1</sub>) + m(I<sub>2</sub>) +……….. + m(I<sub>k</sub>) = m(J<sub>1</sub>) + m(J<sub>2</sub>) +……….. + m(J<sub>s</sub>)'''''

ಎಂದು ಸುಲಭವಾಗಿ ತೋರಿಸಿಕೊಡಬಹುದು. ಇದರಿಂದ ● '''*''' ನಲ್ಲಿ '''''m(A)''''' ಸ್ಪಷ್ಟವಾಗಿ ವ್ಯಾಖ್ಯಿತವಾಗಿದೆ ಎಂದ ಹಾಗಾಯಿತು.

ಈಗ '''''ξ''''' ಯು '''''R<sup>n</sup>''''' ಎಲ್ಲ ಮೂಲಗಣಗಳ ಸಮೂಹವಾದರೆ ಅದು ಗಣಗಳ ಒಂದು ವಲಯ, ಆದರೆ σ ವಲಯವಲ್ಲವೆಂದು ತೋರಿಬರುತ್ತದೆ. ಈಗ '''''A,B''''' ಗಳು '''''ξ''''' ನ ಯಾವ ಎರಡು ವಿಸಂಧಿತ ಗಣಗಳಾದರೂ '''''m(A'' ∪ ''B) = m(A) + m(B)''''' ಎಂದಾಗುತ್ತದೆ. ಹೀಗಾಗಿ '''''m''''' ಎಂಬುದು '''''ξ''''' ನ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿದ ಒಂದು ಗಣೋತ್ಪನ್ನ. ಇದರ ಪ್ರಮುಖ ಗುಣ ವಿಶೇಷಗಳಿವು:

(1) '''''0 ≤ m(A) ≤''''' <math>+\infty, \forall A \in \xi</math>  

(2) '''''m''''' ಪರ್ಯಾಪ್ತವಾಗಿ ಸಂಕಲನೀಯ, ಎಂದರೆ <math>\forall A \in \xi, A \cap B = \phi</math> ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ '''''m(A'' ∪ ''B) = m(A) + m(B)'''''. ಇದರಿಂದ '''''S,T ∈'''''  '''''ξ''''' ಆದರೆ '''''m(S'' ∪ ''T) = m(S) + m(T) - m(S ∩ T)''''' ಎಂದು ತೋರಿಸಬಹುದು.

== m ನ ಒಂದು ವಿಸ್ತರಣ - ಬಹಿರ್ಮಾನ (ಔಟರ್ ಮೆಷರ್) ==
'''''R<sup>n</sup>''''' ನ ಯಾವುದಾದರೂ ಒಂದು ಉಪಗಣ '''''S''''' ನ್ನು ತೆಗೆದುಕೊಳ್ಳೋಣ. ಈಗ '''''ξ''''' ನಲ್ಲಿರುವ ವಿವೃತ ಮೂಲಗಣ '''''A<sub>1</sub>, A<sub>2</sub>, A<sub>3</sub>, ……………..''''' ಗಳು '''''S''''' ಗೆ ಒಂದು ಆವರಣವನ್ನು (ಕವರಿಂಗ್) ಕಲ್ಪಿಸಿಕೊಡುವಂತಿದ್ದರೆ ಎಂದರೆ <math>S \subset \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n</math> ಆಗುವಂತಿದ್ದರೆ

<math>m \bullet (S) = glb \sum_{n=1}^{\infty} m(A)</math>...<math>\left (\oint \right )</math>

ಎಂದು ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸೋಣ. ಇಲ್ಲಿ '''''glb''''' ಎಂದರೆ ಮಹತ್ತಮ ನಿಮ್ನಪರಿಬಂಧ (greatest lower bound).<ref name="BabyRudin">{{cite book|url=https://archive.org/details/principlesofmath00rudi|title=Principles of Mathematical Analysis|last=Rudin|first=Walter|publisher=McGraw-Hill|year=1976|isbn=0-07-054235-X|edition=3rd|page=[https://archive.org/details/principlesofmath00rudi/page/n15 4]|chapter="Chapter 1 The Real and Complex Number Systems"|format=print|author-link=Walter Rudin|url-access=registration}}</ref> '''''S''''' ಗೆ ಬೇರೆ ಬೇರೆ ರೀತಿಯಲ್ಲಿ ಸಾಧ್ಯವಾಗುವ ಎಲ್ಲ ಆವರಣಗಳನ್ನೂ ತೆಗೆದುಕೊಂದು ಪ್ರತಿಸಲವೂ '''''Σm(A<sub>n</sub>)''''' ಸಂಖ್ಯೆಗಳನ್ನು ಗೊತ್ತುಮಾಡಿ ಆ ಸಂಖ್ಯೆಗಳ ನಿಮ್ನ ಪರಿಬಂಧಗಳಲ್ಲಿ ಅತಿ ದೊಡ್ಡ ಸಂಖ್ಯೆಯನ್ನು ಆಯುತ್ತೇವೆ. ಇದೇ '''''m•(S)'''''. ಇದನ್ನು '''''S''''' ಗಣದ [[:en:Outer measure|ಬಹಿರ್ಮಾನ]] ಎಂದು ಕರೆಯುತ್ತೇವೆ. ಈ ವ್ಯಾಖ್ಯೆಯಿಂದ ಬಹಿರ್ಮಾನದ ಈ ಮುಂದಿನ ಗುಣವಿಶೇಷಗಳು ಸ್ಟಷ್ಟವಾಗುತ್ತವೆ:

(I) '''''m•(S) ≥ 0,'' ∀''(S)'' ⊂ ''R<sup>n</sup>'''''

(II) '''''S<sub>1</sub>'' ⊂ ''S<sub>2</sub>'' ⊂ ''R<sup>n</sup>'''''

ಇವೆರಡೂ ಆದಾಗಲೆಲ್ಲ '''m•(S1) ≤ m•(S2)'''

(III) <math>S = \bigcup_{n=1}^{\infty}S_n, S_n \subset R^n</math> ಆದರೆ <math>m \bullet (S) \leq \sum_{n=1}^{\infty} m \bullet (S_n)</math>

ಎಂದರೆ '''''m•''''' ಒಂದು ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಉಪಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನ.

(IV) '''∀''A''''' '''∈''' '''''ξ'''''   ಎಂದರೆ '''''A''''' ಮೂಲಗಣವಾದರೆ '''''m•(A)=m(A)'''.'' ಹೀಗಾಗಿ '''''m•''''' ಎಂಬುದು '''''ξ''''' ನಿಂದ '''''R<sup>n</sup>''''' ನ ಎಲ್ಲ ಉಪಗಣಗಳಿಗೂ ವಿಸ್ತರಿಸಿದ ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಉಪಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನ. ಈಗ ಇದರ ಒಂದು ಮುಖ್ಯ ಸೀಮಿತ ಕುರಿತು ವಿಚಾರಿಸೋಣ.

== ಮಾಪನೀಯ ಗಣಗಳು ==
'''ವ್ಯಾಖ್ಯೆ''': '''''A''''' ಯು '''''R<sup>n</sup>''''' ನ ಒಂದು ಗಣವಾಗಿರಲಿ. ಇದು '''''{A<sub>n</sub>}, n=1, 2, 3,……….''''' ಎಂಬ ಮೂಲಗಣಗಳ ಶ್ರೇಣಿಯೊಂದರ [[:en:Limit (mathematics)|ಪರಿಮಿತಿಯಾಗಿದ್ದರೆ]], ಎಂದರೆ <math>A_n \to A, n \to \infty</math> ಆದರೆ '''''A''''' ಯನ್ನು ಸಾಂತಮಾಪನೀಯ ಗಣವೆಂದು (ಫೈನೈಟ್ಲಿ ಮೆಷರೆಬಲ್ ಸೆಟ್) ಹೇಳುತ್ತೇವೆ.

'''''R<sup>n</sup>''''' ನ ಯಾವಗಣ '''''S''''' ನ್ನು ಸಾಂತಮಾಪನೀಯ ಗಣಗಳಾದ '''''S<sub>1</sub>, S<sub>2</sub>, S<sub>3</sub>……..''''' ಗಳ ಗಣನೀಯ ಸಂಯೋಗದ ರೂಪದಲ್ಲಿ ಎಂದರೆ <math>S = \bigcup_{i=1}^{\infty} S_i</math> ರೂಪದಲ್ಲಿ ವ್ಯಕ್ತಪಡಿಸಬಹುದಾದರೆ, ಅಂಥ ಗಣ '''''S''''' ನ್ನು '''ಮಾಪನೀಯ ಗಣ''' (measurable set) ಎಂದು ಹೇಳುತ್ತೇವೆ. '''''R<sup>n</sup>''''' ನಲ್ಲಿ ಎಲ್ಲ ಮಾಪನೀಯ ಗಣಗಳ ಸಮೂಹವನ್ನು '''''M''''' ಎಂದು ಸೂಚಿಸೋಣ. ಈಗ '''''A,B'' ∈ ''M''''' ಆದರೆ '''''m•''''' ಮುಂದೆ ತೋರಿಸಿರುವ ಗುಣಗಳನ್ನು ಪಾಲಿಸುತ್ತದೆ:

(1) '''''m• : M → R''''' ಎಂದು ಗಣನೀಯ ಉತ್ಪನ್ನ

(2) '''''m• A ≥ 0'''''

(3) '''''m• (A'' ∪ ''B)= m• (A) + m• (B) – m• (A ∩ B)''''' ಅರ್ಥಾತ್ '''''m•''''' ಸಂಕಲನೀಯ.

(4) '''''m• : M → R''''' ಗಣನೀಯವಾಗಿ ಸಂಕಲನೀಯ, ಎಂದರೆ '''''A<sub>1</sub>,A<sub>2</sub>,A<sub>3</sub>…………''''' ಗಳು '''''M''''' ನಲ್ಲಿ ಪರಸ್ಪರ ವಿಸಂಧಿತಗಳಾದರೆ <math>m \bullet \left ( \bigcup_{i=1}^{\infty} A_i \right ) = \sum_{i=1}^{\infty} m \bullet A_i</math>. ಹೀಗಿರುವುದರಿಂದ '''''m•''''' ಎನ್ನುವುದು '''''ξ''''' ನಿಂದ '''''M''''' ಗೆ '''''m''''' ಗಣೋತ್ಪನ್ನದ ಒಂದು ವಿಸ್ತರಣೆಯೇ ಸರಿಯೆಂದು ತೋರುತ್ತದೆ. '''''M''''' ನ ಗಣಗಳಿಗೆ '''''m•''''' ನ್ನು ಸೀಮಿತಗೊಳಿಸಿದರೆ '''''m•''''' ನ್ನು '''''M''''' ಎಂದೇ ನಿರೂಪಿಸಬಹುದು. ಇದು '''''R<sup>n</sup>''''' ನ ಮೇಲೆ ವ್ಯಾಖ್ಯಿಸಿರುವ ಲೆಬೇಗ್‌ಮಾನ. ನಿಜಕ್ಕೂ <math>m: M \to \bar{R}</math>  ಒಂದು ಅನೃಣ ಗಣನೀಯ ಸಂಕಲನೀಯ ಗಣೋತ್ಪನ್ನ. ಪರಿಚ್ಫೇದ (I) ರ ಕೊನೆಯಲ್ಲಿ ಸೂಚಿಸದ 'ಉದ್ದ'ದ ಸಂಕಲನದಲ್ಲಿ ತೋರಿಬರುವ ವಿರೋಧಾಭಾಸ ಇದರಲ್ಲಿ ತೊಡೆದುಹೋಗಿದೆ.

ಮೇಲೆ ವಿವರಿಸಿದ ಲೆಬೇಗ್‍ಮಾನ ಉದ್ದ, ಕ್ಷೇತ್ರಫಲ, ಘನಫಲ, ಮುಂತಾದ ಜ್ಯಾಮಿತೀಯ ಅಳತೆಗಳ ಸಾರ್ವತ್ರೀಕರಣ. ಏಕೆಂದರೆ

(1) '''''n=1''''' ಆದರೆ '''''l = {x | a ≤ x ≤ b}''''' ಯು '''''R<sup>1</sup>''''' ನಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂತರ ಎಂದರೆ ರೇಖಾಖಂಡ. ಈಗ '''''m(I) = (b-a)''''' ಯು '''''I''''' ನ ಉದ್ದ.

(2) '''''n=2''''' ಆದರೆ '''''I = {(x,y) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d}''''' ಯು '''''R<sup>2</sup>''''' ದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂತರ ಎಂದರೆ [[ಆಯತ (ಆಕಾರ)|ಆಯತ]]. ಈಗ '''''m(I) = (b-a)(d-c)''''' ಆಯತದ ಕ್ಷೇತ್ರಫಲ.

(3) '''''n=3''''' ಆದರೆ '''''I = {( x,y,z) | a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d, e ≤ z ≤ f}''''' ಎಂಬುದು '''''R<sup>3</sup>''''' ದಲ್ಲಿ ಒಂದು ಅಂತರ ಎಂದರೆ ಒಂದು ಆಯತಘನ, '''''m(I) = (b-a)(d-c)(f-e)''''' ಎಂಬುದು ಅದರ ಘನಫಲ.

== ಉಲ್ಲೇಖಗಳು ==
{{ಉಲ್ಲೇಖಗಳು}}

== ಗ್ರಂಥಸೂಚಿ ==
* {{Durrett Probability Theory and Examples 5th Edition}}

== ಹೊರಗಿನ ಕೊಂಡಿಗಳು ==

* {{springer|title=Measure|id=p/m063240}}
* [https://vannevar.ece.uw.edu/techsite/papers/documents/UWEETR-2006-0008.pdf Tutorial: Measure Theory for Dummies]

[[ವರ್ಗ:ಗಣಿತ]]
[[ವರ್ಗ:ಮೈಸೂರು ವಿಶ್ವವಿದ್ಯಾನಿಲಯ ವಿಶ್ವಕೋಶ]]